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上の点ととの距離と、直線

上の点ととの距離とが等しい、として式を立てると失敗します。「直線上のある

点と点との距離」と、「点と直線との距離」は別物です。また試験会場では、

(1) ，求める図形上の点をP，とします。点Pと直線ABとの距離は、点Pから直線ABに垂線AQを下ろすとき線分AQ長さです。点Pを通りに垂直な平面Πと直線ABとの交点をQとしてAQの長さと言うこともできます。は平面Πの法線ベクトルです。

とおくと、Qは直線AB上の点なので、kを実数として、

　･･･�@

とおくことができます。平面の方程式を作るときと同様に、平面Π上のベクトルが法線ベクトルと直交することから、

　∴ ，　･･･�A

注．これは、がの上への正射影であることを意味しています。最初から、正射影であるとして解答すれば効率的です。

「2直線AB，BCから等距離にある点」を考えるので、点Pと直線ABとの距離を考えます。�Aより、

　･･･�B

ここで、改めて，とし、Pから直線BAに垂線，Pから直線BCに垂線を下ろすと、�Bより、

，　･･･�C

点Pと、直線AB，直線BCとの距離が等しいので、より、

　∴ 　･･･�D

注．これは、ということです。△と△において、BP共通、，より、△≡△が言えるので、ここから、とすれば、上記よりも効率的に�Dが得られます。

，，

　･･･�E

複号の＋をとると、　∴ 　･･･�F
複号の−をとると、　∴ 　･･･�G
これらは、平面を表します。　平面と平面 ......[答]

(2) 4直線AB，BC，CD，DAに共に接する球面の中心は、4直線との距離がすべて等しくなる点です。(1)で2直線AB，BCとの距離が等しい点がなす図形(平面、とします)を求めたので、(1)と同様にして、2直線BC，CDとの距離が等しい点がなす平面、2直線CD，DAとの距離が等しい点がなす平面、を求めて、3平面の交点を求めることになります。

(1)を上記のようにすんなり求めるのは容易ではありませんが、(1)を手間をかけて求めたとしても、面倒な手順をあと2回繰り返すことになるので、(1)の解き方をよく見直して、平面，平面については、�Dを用いて効率よく求める必要があります。

平面上の点Pについて、2直線BC，CDとの距離を考えるので、�Dで、B→C，A→B，C→D，，，Pから直線CBに垂線，Pから直線CDに垂線を下ろすとして、

，，

　･･･�H

複号の＋をとると、　∴ 　･･･�I
複号の−をとると、　∴ 　･･･�J

平面上の点Pについて、2直線CD，DAとの距離を考えるので、�Dで、B→D，A→C，C→A，，，Pから直線DCに垂線，Pから直線DAに垂線を下ろすとして、

，，

　･･･�K

複号の＋をとると、　∴ 　･･･�L
複号の−をとると、　∴ 　･･･�M

ここで、平面，平面，平面の交点(4直線と等距離にある点、つまり球面の中心)を求めることになりますが、平面は�Fまたは�G，平面は�Iまたは�J，平面は�Lまたは�Mなので、球面の中心は、

の8通りあります。その各々について�Cを用いて、，を求めれば球面の半径が求められるわけですが、�Cに出てくる、，を求める式として、�E，�H，�Kの中で、最も簡単な�K：を使うことにします。中心の座標に対して、�Kでは、，なので、半径の2乗は、

となり、を使って半径を求めます。

・�F：と、�I：より、

�L：のとき、，
�M：のとき、，

・�Fと、�J：より、，

�Lのとき、，，，，
�Mのとき、，，，，

・�G：と、�Iより、，

�Lのとき、，，，，
�Mのとき、，，，，

・�G−�Jより、，

�Lのとき、，，，，
�Mのとき、，，，，

中心：，半径：
中心： (複号同順)，半径：
中心： (複号同順)，半径：
中心： (複号同順)，半径： ......[答]

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