東工大数学'23年前期[5]
xyz空間の4点A
，B
，C
，D
を考える。
(1) 2直線AB，BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2) 4直線AB，BC，CD，DAに共に接する球面の中心と半径の組をすべて求めよ。
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解答 点と直線の距離は、その点から直線に下した垂線の長さです。(1)で、2直線から等距離にある図形を求め、それを使って(2)で4直線に接する球面を求めるのですが、(2)で(1)と同じことを2回繰り返すので、(1)を要領よく解答する必要があります。
(1) 
，求める図形上の点をP
，
とします。点Pと直線ABとの距離は、点Pから直線ABに垂線PQを下ろすとき線分PQの長さです(直線のベクトル方程式を参照)。点Pを通り
に垂直な平面πと直線ABとの交点をQとしてPQの長さと言うこともできます。
は平面πの法線ベクトルです(平面のベクトル方程式を参照)。
とおくと、Qは直線AB上の点なので、kを実数として、
･･･①とおくことができます(ベクトルの1次独立を参照)。平面π上のベクトル
が法線ベクトル
と直交することから、 ①を代入すると、
注．これは、
が
の
上への正射影であることを意味しています。最初から、正射影であるとして解答すれば効率的です。 「2直線AB，BCから等距離にある点」を考えるので、点Pと直線ABとの距離
を考えます。②より、 
･･･③ここで、改めて
，
とし、Pから直線BAに垂線
，Pから直線BCに垂線
を下ろすと、③より、 
，
･･･④点Pと、直線AB，直線BCとの距離が等しいので、④で
として 
∴ 
･･･⑤注．これは、
ということです。△
と△
において、BP共通、
，
より、△
≡△
が言えるので、ここから、
とすれば、上記よりも効率的に⑤が得られます。
となるので、
⑤に代入すると、
複号の＋をとると、
∴ 
･･･⑦
複号の－をとると、
∴ 
･･･⑧
⑦，⑧は、平面を表します。 平面
と平面
......[答]
(2) 4直線AB，BC，CD，DAに共に接する球面の中心は、4直線との距離がすべて等しくなる点です。(1)で2直線AB，BCとの距離が等しい点がなす図形(平面、
とします)を求めたので、(1)と同様にして、2直線BC，CDとの距離が等しい点がなす平面
、2直線CD，DAとの距離が等しい点がなす平面
、を求めて、3平面の交点を求めることになります。 (1)を上記のようにすんなり求めるのは容易ではありませんが、(1)を手間をかけて求めたとしても、面倒な手順をあと2回繰り返すことになるので、(1)の解き方をよく見直して、平面
，平面
については、⑤を用いて効率よく求める必要があります。
平面
上の点P
について、2直線BC，CDとの距離を考えるので、⑤で、B→C，A→B，C→D，
，
，Pから直線CBに垂線
，Pから直線CDに垂線
を下ろすとして、 となるので、
⑤に代入すると、
複号の＋をとると、
∴ 
･･･⑩
複号の－をとると、
∴ 
･･･⑪
平面
上の点P
について、2直線CD，DAとの距離を考えるので、⑤で、B→D，A→C，C→A，
，
，Pから直線DCに垂線
，Pから直線DAに垂線
を下ろすとして、 となるので、
⑤に代入すると、
複号の＋をとると、
∴ 
･･･⑬
複号の－をとると、
∴ 
･･･⑭
ここで、平面
，平面
，平面
の交点(4直線と等距離にある点、つまり球面の中心)を求めることになりますが、平面
は⑦または⑧，平面
は⑩または⑪，平面
は⑬または⑭なので、球面の中心は、 ⑦と⑩と⑬の交点、⑦と⑩と⑭の交点、⑦と⑪と⑬の交点、⑦と⑪と⑭の交点
⑧と⑩と⑬の交点、⑧と⑩と⑭の交点、⑧と⑪と⑬の交点、⑧と⑪と⑭の交点
の8通りあります。その各々について④を用いて、
，
を求めれば球面の半径が求められるわけですが、④に出てくる、
，
を求める式として、⑥，⑨，⑫の中で、最も簡単な⑫：
を使うことにします。中心の座標
に対して、⑫では、
，
なので、半径の2乗は、 となり、
を使って球面の半径を求めます。 ・⑧－⑪より、
，
以上より、球面の中心と半径は、
中心：
，半径：
中心：
(複号同順)，半径：
中心：
(複号同順)，半径：
中心：
(複号同順)，半径：
......[答]
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∴ 
，
･･･②
，
，
･･･⑥
，
，
･･･⑨
，
，
･･･⑫
と、⑩：
より、
のとき、
，
のとき、
，
より、
，
，
，
，
，
，
，
，
，
と、⑩より、
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，