東大理系数学'02年前期[3]
xyz空間内の原点O
を中心とし、点A
を通る球面をSとする。Sの外側にある点P
に対し、OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をLとする。点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足をそれぞれQ，Rとする。このとき、
であるような点Pの動く範囲Vを求め、Vの体積は10より小さいことを示せ。
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解答 問題の状況設定はz軸のまわりに回転しても変化がありません。従って、Pのy座標を
とし、zx平面上で考えておいて、あとからz軸のまわりに回転させて空間図形として考える、というようにもできます。ここでは、空間図形のまま、やってみます。なお、下記の補注を参照してください。
2つの球が出てきますが、それぞれの球面上の点の座標を
と表すことにします。
球面Sの方程式は、
･･･① (球面の方程式を参照)
OPを直径とする球の中心はT
にあります。球の半径はOTです。
OPを直径とする球面の方程式は、
･･･②
として、平面Lの方程式は、
整理して、
点PとLとの距離がPQです。
(下記(＊)を参照)
より、
･･･④
・
のとき、④ ⇔ 
⑤の表す図形は、
を中心とする半径
の球面
から外側であってかつ、
を中心とする半径
の球面
から内側の部分です。
点P
は、球面Sの外側の点なので、
･･･⑥
⑤かつ⑥を満たす点はありません。
・
のとき、④ ⇔ 
⑦の表す図形は、
を中心とする半径
の球面
から外側であってかつ、
を中心とする半径
の球面
から内側の部分です。
点P
は、球面Sの外側の点なので、
･･･⑧
を満たします。⑦かつ⑧を満たす点は右図黄緑色着色部分にあります(白マルを除く)。
球面
は、球面Sと点A
で接し、内接します。球面
は、球面Sと点A
で接し、外接します。
従って、⑦かつ⑧により、点Pの動く範囲Vは、
原点を中心とする半径1の球面より外側であってかつ、
を中心とする半径
の球面
から内側であって
を除く部分 ......[答]
Vの体積は、半径
の球の体積から、半径1の球の体積を引いたものになります。
Vの体積：
補注 上記では、球面の方程式、平面の方程式、点と平面の距離の公式を用いています。
点C
を中心とする半径rの球面上の点P
は、
を満たします。
座標を用いて書くと、
より、
これが、点C
を中心とする半径rの球面の方程式です。
と垂直で、点Dを通る平面上の点P
は、
，即ち、
を満たします。
∴ 
として、
を座標を用いて書くと、
と垂直な平面の方程式は、
と表すことができます。
点A
と平面：
との距離hは、点Aから平面に下ろした垂線の足をHとして、
// 
より、
と表せるので、
より、
Hは平面上の点なので、
のPをHに代えた式も成り立ちます。
∴ 
∴ 
これより、
∴ 
･･･(＊)
これが、点A
と平面：
との距離の公式です。上記の東大理系数学'02前期[3]では、PQとARを求めるのに使っています。
また、上記では、①－②として、2球の交円を含む平面の方程式を求めています。
2球の方程式が
，
だとします。
h，kを適当な実数だとして、
･･･⑨
，
⑨が球を表すのは、⑨が
，
，
という項を含むときです。
⑨が平面を表すのは、⑨が
，
，
という項を含まないときです。
，
の
，
，
の係数がともに1なら、
，
とすれば、⑨から
，
，
の項を消すことができます。
つまり、
は、2球の交円を含む平面を表します。上記では、平面の方程式③を求めるのに、この技巧を使っています。
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かつ 
かつ 
･･･⑤
かつ 
かつ 
･･･⑦
