東大理系数学'07年前期[2]
nを2以上の整数とする。平面上に
個の点O，
，
，･･･，
があり、次の2つの条件をみたしている。
① 
(
)，
(
)② 線分
の長さは1，線分
の長さは
である。 線分
の長さを
とし、
とおくとき、
を求めよ。
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解答 この問題を落とすようでは、東京大学で学ぼうなどと思わないで欲しい、という問題です。
まず、
，
，･･･，
は、すべて、2角が等しい三角形で相似であることに気づく必要があります。となれば、相似比を考えて、
よって、
として、数列
は等比数列であり、
これで、
とするのですから、極限の公式：
を使う問題なのだろう、というストーリーが見えてきます。
は、単に等比数列の和に過ぎません。公式を用いて、
･･･③
において、余弦定理より、
③に代入して、
∴ 
......[答]
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