東大理系数学'09年前期[1]
自然数
に対し、
個の二項係数
を考え、これらすべての最大公約数を
とする。すなわち
はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1) mが素数ならば、
であることを示せ。 (2) すべての自然数kに対し、
が
で割り切れることを、kに関する数学的帰納法によって示せ。 (3) mが偶数のとき
は1または2であることを示せ。
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解答 京大理系'97年前期[2](異なる素数p，qに対し、
として、
(
)の最大公約数が1であることを示す問題。
，
，
に着眼する)と同様の発想「
に着眼」をすれば、(1)はすぐです。
(2)は、kに関する数学的帰納法であって、mに関する数学的帰納法ではないので注意してください。
なお、整数を参照してください。
(1) mが素数のとき、
として、
の分子は素数mを含み、分母は素数mを含まないので、
は、すべてmで割り切れます。 一方、
は素数なので、1とm以外の約数をもちません。
よって、
(
)の最大公約数
は、
です。
(2) (Ⅰ) 
のとき、
は
で割り切れるので、成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき成り立つとすると、
は
で割り切れるので、pを整数として、 
･･･①
･･･②ここで、
(
)の最大公約数が
であって、
はすべて
の倍数なので、rを整数として、 
･･･③とおくことができます。これと①を用いて②を、
と書き直すことができます。
∴ 
これより、
は
で割り切れるので、
のときにも成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数kに対し、
が
で割り切れることが示されました(数学的帰納法を参照)。
(3) (2)と同様に考えます。二項定理より、
とすると、mは偶数なので、
･･･④
(
)の最大公約数が
であって、
はすべて
の倍数なので、sを整数として、とおくことができます。これと④より、
これより、
は2の正の約数で、1か2に限られます。
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