東大理系数学'09年前期[3]
スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が1個、等確率
で出てくる機械がある。2つの箱LとRを用意する。次の3種類の操作を考える。
(A) 1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。
(B) 1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。
(C) 1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。
(1) LとRは空であるとする。操作(A)を5回おこない、さらに操作(B)を5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率
を求めよ。 (2) LとRは空であるとする。操作(C)を5回おこなう。このときLに4色すべての玉が入っている確率
を求めよ。 (3) LとRは空であるとする。操作(C)を10回行う。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率を
とする。
を求めよ。
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解答 玉の入り方は、同じものを含む順列として場合の数を数えます。(1)と(2)では何が違うのだろうと思ったりもしますが、難しく考えないことが大切です。
(1) 操作(A)と操作(B)とでは入れる箱が違うだけで場合の数の数え方は同じです。操作を5回行って4色すべての玉が入る確率も同じです。また、操作(A)と操作(B)は独立なので、操作(A)での確率を2乗すれば、
が求められます。 操作(A)での全事象は、各回4通りで5回操作を行うので、
通りあります。4色すべての玉が入るのは、4色いずれかの色の玉が2個出て、他の色が1個ずつ出る場合で、2個出る玉の色が4通りあり、場合の数は、
通りあります。
操作(A)を5回行って、4色すべての玉が入っている確率は、
･･･①
∴ 
......[答]
(2) 操作(C)を5回行って、Lに4色すべての玉が入るのは、操作(A)を5回行ったときと全く同様です。①より、
......[答]
(3) 操作(C)を10回行って、LにもRにも4色すべての玉が入るのは、10回中にどの色の玉も少なくとも2回出るときですが、4色のうち1色が4個出て他の3色が2個出る場合と、2色が3個で他の2色が2個出る場合があります。
前者では、4個出る色が4通り、後者では、3個出る色が
通りあります。よって、 ∴ 
......[答]
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