東大理系数学'09年前期[6]
平面上の2点P，Qの距離を
と表すことにする。平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形△
がある。△
の内部に3点
，
，
を、
(
)となるようにとる。また、
とおく。
のそれぞれに対して、時刻0に
を出発し、
の向きに速さ1で直進する点を考え、時刻tにおけるその位置を
と表すことにする。
(1) ある時刻tで
が成立した。ベクトル
と、ベクトル
とのなす角度をθ とおく。このとき
となることを示せ。 (2) 角度
，
，
を
，
，
によって定義する。αを
かつ
をみたす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで、
の値のとる範囲をαを用いて表せ。 (3) 時刻
，
，
のそれぞれにおいて、次が成立した。 このとき、時刻
において同時に が成立することを示せ。
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解答 かつての後期試験風の問題ですが、こういう問題でこそベクトルの基本が問われています。(1)，(2)は題意を把握できればそれほど難しくはありませんが、(3)は数値処理の部分で多大な気力・知力を必要とします。
(
)より、
は動点の移動方向を示す単位ベクトルで、時刻0に
を出発し、
の向きに速さ1で直進する点の時刻tにおける位置
を示す位置ベクトルは、
･･･①
(1) 
より、
です。①より、 この式は、右図のように、時刻0に
を出発した動点が
の方向に速さ
で進み、時刻tに
からの距離が1の範囲、つまり
を中心とする半径1の円内に来ている、ということを意味しています。右図において、
として、
より
∴ 
(2) 問題文の図を眺めていても、
，
の関係は見えてきません。(1)の結果は、
，
は勝手な方向を向いているわけではなく、
は
にかなり近い方向を向いている、ということを意味しています。つまり、
，
の方向には
の方向に関して何らかの制約があるのですが、問題文の図ではそれが把握できないのです。 
そこで、
，
，
だけを抜き出したベクトル図を描いてみます。右図を見ると、
と
のなす角がθ，
と
のなす角が
なので、
です。複号が＋になる(右図(i))とき、
，複号が－になる(右図(ii))とき、
となります。
より、三角形DCEは二等辺三角形で、
より、
(複号同順)∴ 
(1)より、
より、
......[答]
(3) 示すべき式、例えば、
は、時刻Tに動点
は三角形
の中心Oのかなり近くにいることを意味しています。時刻0から時刻
までの間に速さ1で動点が進む距離は、
です。つまり、
を出発してOに向かって進むのであればちょうどOに到着する時刻に、動点
はちょっとずれた方向：
の方向に進んでいるのでOには来ないかも知れませんがOのそばには来ている、ということです。となることから、
∴ 
･･･②
以下では、②式を示すことが目標になります。
ところで、
から(2)の結果が得られるので、
，
，
の3式から、 が得られます。ここで④＋⑤より、
･･･⑥③の各辺にマイナスをつけて不等号の向きを変え、
･･･⑦⑥＋⑦より、
∴ 
･･･⑧ 注．ここを、(③＋④＋⑤)÷2より、
･･･⑨ ⑦＋⑨より、
としてしまうと、⑧よりも緩い条件になってしまい、
(
の変形は
を利用) と、②右辺(
)との差が極めて小さく、②を示すのが難しくなります。
⑧より、
この右辺と②の右辺を各々2乗して比較すると、
∴ 
よって②が成り立つので、
が成立します。
同様にして、
，
も成り立ちます。
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，
，
，
，
，
，
，
，
と
のなす角は
で、
(∵ 
)
･･･③
･･･④
･･･⑤
(
)
