東京大学文系2009年数学入試問題
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[1] 座標平面において原点を中心とする半径2の円を
とし、点
を中心とする半径1の円を
とする。また、点
を中心とする半径t の円
が、
に内接し、かつ
に外接すると仮定する。ただし、bは正の定数とする。
(1) a，bをt を用いて表せ。また、t がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき、bの最大値を求めよ。
[解答へ]
[2] 自然数
に対し、
個の二項係数
を考え、これらすべての最大公約数を
とする。すなわち
はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1) mが素数ならば、
であることを示せ。 (2) すべての自然数kに対し、
が
で割り切れることを、kに関する数学的帰納法によって示せ。 [解答へ]
[3] スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が1個、等確率
で出てくる機械がある。2つの箱LとRを用意する。次の3種類の操作を考える。
(A) 1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。
(B) 1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。
(C) 1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。
(1) LとRは空であるとする。操作(A)を5回おこない、さらに操作(B)を5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率
を求めよ。 (2) LとRは空であるとする。操作(C)を5回おこなう。このときLに4色すべての玉が入っている確率
を求めよ。 (3) LとRは空であるとする。操作(C)を10回行う。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率を
とする。
を求めよ。 [解答へ]
[4] 2次以下の整式
に対し
を考える。
(1) 
，
のときSをaの関数として表せ。 (2) 
，
をみたしながらfが変化するとき、Sの最小値を求めよ。 [解答へ]
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