東大理系数学'10年前期[4]
Oを原点とする座標平面上の曲線
C：
と、その上の相異なる2点
，
を考える。
(1) 
(
)を通るx軸に平行な直線と、直線
との交点を、それぞれ
(
)とする。このとき
と
の面積は等しいことを示せ。 (2) 
とする。このときCの
の範囲にある部分と、線分
，
とで囲まれる図形の面積を、
，
を用いて表せ。
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解答 工夫の必要な求積問題ですが、問題文の指定を活かすことにより、面倒な計算を回避できます。
(1) 
，
のy座標は
，
ですが、直線
上の点なので、x座標もy座標と等しく、
，
となります。
，つまり、原点O，
，
を3頂点とする三角形の面積
は、曲線C上の点
，
の座標を使って表されている
と
が同じ形をしているので、曲線C上の点
について、
がどういう値になるかを調べてみます。 
(一定) ･･･①従って、
(2) 求める面積をS，曲線Cとx軸、直線
，
で囲む面積を
，
，
として
の面積を
，
の面積を
として、
，
となる場合を含めて、 (i) 
の場合、 (ii) 
の場合、 (iii) 
の場合、 いずれの場合も、
･･･②問題文の要求は「
，
を用いて表せ」ということなので、
，
を使わずに
，
で表すようにします。①を用いると、 
･･･③よって、
，
これより②は、
･･･④また、曲線C上の点
においては、
より、
の場合についても、 よって、③両辺をyで割って、
･･･⑤さて、
について、 
･･･⑦
が困りますが、⑤を用いて、
(∵ 
)⑦に代入して、
④に代入すると、
......[答]
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，
，
，
，
を使わず
，
で表すようにするために、
のときy：
，
を
