東大理系数学'12年前期[3]
座標平面上で2つの不等式
，
とし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積を
とする。
(1) 
と
の値を求めよ。 (2) 
の値と1の大小を判定せよ。
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解答 (1)は平凡な求積問題です。(2)の数値評価も東大理系では定型パターンで大したことはありません。
(1) 領域Sの境界線、
･･･①
･･･② (楕円を参照)の交点を求めます。
∴ 
このとき、
②とy軸との交点は、②で
として、
領域Sをx軸のまわりに回転すると、②の
の部分を回転してできる立体から①の
の部分を回転してできる立体を取り除いた立体になります。
①より
，②より
よって、その体積
は、領域Sがy軸に関して対称であることから、領域Sをy軸のまわりに回転すると、①の
の部分を回転してできる立体と、②の
の部分を回転してできる立体を合わせたものになります。
①より
，②より
よって、その体積
は、
(2) 
なので、以下のように答案を書くことになります。
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⇔ 
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