東大理系数学'12年前期[4]
nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。
(1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
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解答 「・・・でないことを示せ」という問題文では、背理法の利用を考えます。なお、整数を参照してください。
(1) 連続する2個の自然数k，
の積がn乗数だと仮定します。 kと
は互いに素で1以外の共通の約数を持たないので、
がn乗数であれば、p，qを自然数として、 と表せます。ここで、
より
です。 
･･･①に限られます。ところで、
であれば、 このn項の和の各項はいずれも1以上で、
で、①と矛盾が生じます。従って、仮定は誤りで、連続する2個の自然数の積はn乗数ではありません。
(2) 
のときは(1)で証明されています。 
のとき、連続するn個の自然数k、
，
，･･･，
の積がn乗数だと仮定します。pを自然数として、
･･･②と表せます。
より、
です。よって、iを
を満たすいずれかの整数(
より)として、
です。②は、 となりますが、これでは、
，即ち
が、
(
)で割り切れることになります。
と
は互いに素なので、矛盾が生じます。よって、②を満たすpは存在せず、連続するn個の積はn乗数ではありません。
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(
)，
(
)は1の約数なので、
