東大理系数学'13年前期[2]

東大理系数学'13年前期[2]

aを実数とし、

で定義された関数

，

を次のように定める。

このとき

のグラフと

のグラフが

において共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。

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解答　

，

のグラフを追求していくと行き詰まります。文字定数は分離する(微分法の方程式への応用(2)を参照)、という定石であっさり解決します。

のグラフと

のグラフの共有点のx座標は、方程式

の解です。

なので、両辺をxで割ると、

この解は、

と

を連立したときの解です。

とおくと、

とすると、

においては、

より

(

)

xが0に近いところでの増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。

であり、

の極値について、

の場合は、

となるので、増減表より、

のグラフと

のグラフが

において共有点をちょうど3つ持つaは、

，

.......[答]

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