東京大学理系2013年前期数学入試問題
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[1] 実数a，bに対し平面上の点
を
によって定める。このとき、次の条件(i)，(ii)がともに成り立つような
をすべて求めよ。
(i) 
[解答へ]
[2] aを実数とし、
で定義された関数
，
を次のように定める。
このとき
のグラフと
のグラフが
において共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。
[解答へ]
[3] A，Bの2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ
のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i) Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればAに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ii) Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればBに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そしてA，Bのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1) A，Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 [解答へ]
[4] △ABCにおいて
，
，
とする。△ABCの内部の点Pが
を満たすとする。
(1) 
，
を求めよ。 [解答へ]
[5] 次の命題を証明したい。
命題P 次の条件(a)，(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。
[解答へ]
[6] 座標空間において、xy平面内で不等式
，
により定まる正方形Sの4つの頂点をA
，B
，C
，D
とする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させてできる立体を
，直線ACを軸として回転させてできる立体を
とする。
(1) 
を満たす実数t に対し、平面
による
の切り口の面積を求めよ。 (2) 
と
の共通部分の体積を求めよ。 [解答へ]
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は相異なる。
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を求めよ。