東大理系数学'13年前期[6]
座標空間において、xy平面内で不等式
，
により定まる正方形Sの4つの頂点をA
，B
，C
，D
とする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させてできる立体を
，直線ACを軸として回転させてできる立体を
とする。
(1) 
を満たす実数t に対し、平面
による
の切り口の面積を求めよ。 (2) 
と
の共通部分の体積を求めよ。
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解答 以下のように細かく検討していると、とても最後までたどりつけません。正確な論述は難解でも、求積問題としては必ずしも難しい問題ではありません。円錐を母線に平行な平面で切ると切り口は放物線です。実戦的には、対称性を感覚的に見破って計算を進め、答だけでも出しておくようにしましょう。
(1) 正方形Sをxy平面内で、
に位置する部分と、
に位置する部分に分けて
を考えます。 (i) まず、
に位置する部分について、 辺BC上の点のy座標をu (
)として、P
を通りxy面上で直線BDに垂直な直線は、 これと直線BD：
との交点は、
より、
Pを、Q
を中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は①)内で回転させると、
より、 平面
(
)で切ると、
に位置する部分を考えているので
であって、切り口は、 ∴ 
(
) ･･･② (ii) 
に位置する部分について、 辺AD上の点のy座標をu (
)として、P
を通りxy平面上で直線BDに垂直な直線は、 
･･･③これと直線BD：
との交点は、
より、
Pを、Q
を中心として直線BDに垂直な平面(xy平面との交線は③)内で回転させると、
より、 平面
(
)で切ると、
に位置する部分を考えているので、
であって、切り口は、 ∴ 
(
) ･･･④ 平面
による
の切り口は、(平面
上で)③と④に囲まれた図形になります。
③と
を連立すると、
④と
を連立すると、
よって、切り口の面積は、 
......[答]注．要するに、切り口が放物線とわかっていて、積分公式
の利用を考えるのであれば、平面
で切ったときの放物線の開き具合と、放物線と
との2交点の距離
がわかればよいわけです。
は、円
が直線
を切り取る弦の長さとして
(円と直線の位置関係を参照)，開き具合は、放物線の式を
とおき、
のとき
として
などとすれば簡単に求められます(2次関数を参照)。
(2) 
と
とで何が違うか、ということを考えてみます。 xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせは、正方形Sと回転軸ACの組み合わせと、y軸に関して線対称です。回転のさせ方も同じなので、回転体
と
とは平面
即ちyz平面に関して対称です。(1)では、
を、x軸の
の部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えました。この部分と
との共通部分を考えるのであれば、対称性から、
を、x軸の
の部分を通過してx軸に垂直な平面で切った切り口を考える代わりに、
を、x軸の
の部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口を考えればよいことになります。
また、xy平面上において、正方形Sと回転軸BDの組み合わせの
の部分と
の部分とは、原点Oに関して点対称です。
を、x軸の
の部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口は、
を、x軸の
の部分を通過してx軸と垂直な平面で切ったときの切り口をz軸の回りに
回転させたものになります。
従って、
として、平面
による
の切り口は、平面
上において、②，④とy軸に関して対称な、
と
に挟まれた図形になります。
と
とは、
より
，
，つまり、
において交わります。
においては、 となるので、
，
の共通部分を平面
で切った切り口は、
と
に挟まれた図形になります。
この面積
は、 求める体積は、
がyz平面に関して
と対称なことから、 
......[答]注．答案としては、
はyz平面に関して
と対称で、
はz軸に関して
回転すると自身に重なることを断り、あとは計算過程を示す程度で妥協すべきです。
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