東大理系数学'13年前期[1]
実数a，bに対し平面上の点
を
によって定める。このとき、次の条件(i)，(ii)がともに成り立つような
をすべて求めよ。
(i) 
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解答 最近流行の直交変換に関する問題です。東大理系では、昨年の[5]，[6]に続いて3題、行列の問題が連続することになります。
行列を用いて書くと、
とおきます。
です。ところで、
これを繰り返し用いることにより、
より、
は0以上の実数なので、
に限られます。
これを満たす実数a，bを、
とおくと、
これは、角θ だけ反時計回りに回転させる回転移動を表す行列です(1次変換(その2)を参照)。
と仮定すると、
よって、帰納的に、
に対して、
(数学的帰納法を参照)
より、
よって、
，
∴ 
(k：整数，
)
(k：整数，
) ･･･②
として、
のときも含めて、
は、
を反時計回りに
だけ回転させた点です。
のとき、
となり不適。
のとき、
となり不適。
のとき、
となり不適。
のとき、
となり不適。
......[答]
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は相異なる。
のとき、
(
)は、相異なる点です。
のとき、
(
)は、相異なる点です。
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