東大理系数学'13年前期[5]
次の命題を証明したい。
命題P 次の条件(a),(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。
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解答 (1)は見かけは仰々しいですが、平凡です。(2)は、ゴタついている(1)の不等式をどう使うのか、ということに悩まされます。
(1) 中辺は
と変形できるので、証明すべき不等式の各辺から
を引くことにより、 @の右側の不等号は、自然数yについて、
,
より、
において、
・・・Aより、つねに成り立ちます。
@の左側の不等号より、
とおくと、
より、xの2次方程式
は
となる解をもちます。
の範囲で
となる条件は、xが、
の
となる解よりも大きくなることです。 (2次方程式の一般論を参照)よって、Aと合わせて、求めるxの範囲は、
・・・B∴
......[答]
(2) (1)の不等式を書き換えて、
・・・C中辺は、xを整数とすれば、連続3整数の積になっているので、これをAと考えれば、Aは、1が連続して99回以上現れるところがある2つの数の間に挟まれるはずです。つまり、左辺の
と右辺の
は、ともに1が連続して99回以上現れる数になるはずです。
ところで、「1が連続して99回以上現れる数」で思い出すのは、東大理系08年[5]です。1がn個連続して並ぶ整数は、
と表されます。1が99個連続して並ぶ整数は、
と表されます。
Cの不等式を成り立たせるためには、Bを満たすようにxをかなり大きくとれば良いわけですが、1の並びに影響を与えないように、xを
(mは自然数)の形の大きな数になるようにすると、
とすれば良さそうです。
は9の倍数なので、
は自然数です。
のxが、
の連続99個の1に影響を与えないようにするには、
とすればよいのですが、
より
より、
となるように、例えば、
,
とすれば、Bが満たされて、不等式Cが成り立ちます。このとき、不等式Cの左辺は、 Cの右辺は、
よって、不等式Cは、
x,yともに自然数なので、
も自然数で、この不等式より、連続3自然数の積Aには、1が連続して99回現れるところがあります(
よりも小さい整数は、
以下の整数です)。よって、命題Pが成立します。
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