東大理系数学'13年前期[5]
次の命題を証明したい。
命題P　次の条件(a)，(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。


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解答　(1)は見かけは仰々しいですが、平凡です。(2)は、ゴタついている(1)の不等式をどう使うのか、ということに悩まされます。

(1) 中辺はと変形できるので、証明すべき不等式の各辺からを引くことにより、

⇔
⇔ 　･･･①
①の右側の不等号は、自然数yについて、，より、において、
　･･･②
より、つねに成り立ちます。
①の左側の不等号より、
とおくと、より、xの2次方程式はとなる解をもちます。の範囲でとなる条件は、xが、のとなる解よりも大きくなることです。　(2次方程式の一般論を参照)
よって、②と合わせて、求めるxの範囲は、
　･･･③
∴ ......[答]

(2) (1)の不等式を書き換えて、
　･･･④
中辺は、xを整数とすれば、連続3整数の積になっているので、これをAと考えれば、Aは、1が連続して99回以上現れるところがある2つの数の間に挟まれるはずです。つまり、左辺のと右辺のは、ともに1が連続して99回以上現れる数になるはずです。
ところで、「1が連続して99回以上現れる数」で思い出すのは、東大理系08年[5]です。1がn個連続して並ぶ整数は、と表されます。1が99個連続して並ぶ整数は、と表されます。
④の不等式を成り立たせるためには、③を満たすようにxをかなり大きくとれば良いわけですが、1の並びに影響を与えないように、xを (mは自然数)の形の大きな数になるようにすると、とすれば良さそうです。は9の倍数なので、は自然数です。のxが、の連続99個の1に影響を与えないようにするには、とすればよいのですが、
より
より、となるように、例えば、，とすれば、③が満たされて、不等式④が成り立ちます。このとき、不等式④の左辺は、
④の右辺は、
よって、不等式④は、
x，yともに自然数なので、も自然数で、この不等式より、連続3自然数の積Aには、1が連続して99回現れるところがあります(よりも小さい整数は、以下の整数です)。よって、命題Pが成立します。


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