東大理系数学'19年前期[2]
一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P,Q,Rはそれぞれ辺AB,AD,CD上にあり、3点A,P,Qおよび3点P,Q,Rはどちらも面積がの三角形の3頂点であるとする。
の最大値、最小値を求めよ。
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解答 △PQRの方を考えると失敗します。
台形BCRPの面積をとおきます。
より、 ・・・@
,とおくと、です。
より、,よって、
,より、,,よって、 ・・・A
以上より、,,また、です。よって、
@より、
整理すると、
∴ ・・・B
とおくとAより、です。また、Bの右辺は、となり、これをとおき微分すると、
,,より、増減表は以下のようになります。
増減表より(3次関数の最大・最小を参照)、の最大値は (,つまり,のとき)、最小値は (,つまり,のとき) ......[答]
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