東大理系数学'19年前期[3]

座標空間内の5ABCDEを考える。線分ABの中点Mと線分ADの中点Nを通り、直線AEに平行な平面をαとする。さらに、pをみたす実数とし、点Pを考える。
(1) 八面体PABCDEの平面による切り口および、平面αの平面による切り口を同一平面上に図示せよ。
(2) 八面体PABCDEの平面αによる切り口が八角形となるpの範囲を求めよ。
(3) 実数p(2)で定まる範囲にあるとする。八面体PABCDEの平面αによる切り口の内の部分を点が動くとき、座標平面上で点が動く範囲の面積を求めよ。


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解答 手間のかかる空間図形の問題ですが、八面体の各辺と平面との交点をコツコツ調べていけば、できない問題ではありません。

まず、平面
α方程式を求めておきます。
 ・・・@

 
(y軸に平行なベクトルです)
平面αは、点Mを通り、2つのベクトルによって張られる平面であって、stを実数として、平面α上の点Fは、
これより、,平面α上の点について、
  ・・・A
という関係
(Aは平面αの方程式です)があります。

(1) 八面体PABCDEの頂点PACEは、平面上の点です。八面体を平面で切ると、切り口は四角形PAEC (なので、PECが一直線上に並ぶことはありません)です。
平面αの平面による切り口は、Aより、直線になります。
よって、図示すると右図
(四角形PAECは黒線、直線は赤線)
注.(1)は、以降の問題を考える上で、y軸に平行な方向から眺めて考えるように、という誘導になっているだけなので、pについて場合分けして答える必要はないと思いますが、pの値によって平面αと八面体の位置関係が変わるので、(PAと平面αが交点を持ち、辺PCと平面αは交点を持たない) (Pが平面α) (PCと平面αが交点を持ち、辺PAと平面αは交点を持たない)で、場合分けして解答すれば厳密ですが、(2)の設問が無意味になります。 

(2) 八面体PABCDEの平面αによる切り口が八角形となるのは、右図のようになる場合です。平面αと八面体PABCDEの辺PC,辺PB,辺PDとが交点QRSを持ち、平面αと八面体PABCDEの辺AB,辺ADとが交点MNを持ち、平面αと八面体PABCDEの辺EB,辺ED,辺ECとが交点TUVを持ち、切り口が八角形QRMTVUNSになります。平面αと八面体PABCDEの辺PA,辺BC,辺CD,辺EAとは交点を持ちません。
のとき、点Pは平面αから上側(原点Oと同じ側)にあり、点BCDも同じ側にあります。平面αは、辺PAとは交点を持ちますが、辺PC,辺PB,辺PDとは交点を持たず、切り口が六角形になります。のとき、点B,点C,点Dは、点Pと平面αの逆側にあり、平面αは辺PCとも辺PBとも辺PDとも交点を持ち、切り口が八角形になります。よって、 ......[]
(3) のときの状況を、y軸負方向から見た場合と、z軸正方向から見た場合について、右図に示します。

平面αと辺PCの交点Qの座標を求めます。平面上で、辺PCは、直線上にあります。これとAを連立すると(2直線の交点を参照)


(Aより),よって、Q ・・・B
平面
αと辺PBの交点Rの座標を求めます。右上図で、辺PDとの交点Sと、辺PBとの交点Rは重なって見えます。また、点Bと点Dは点Oに重なって見えます。辺PBと辺PDは線分POに重なって見えます。右上図で、直線POとAを連立すると、


右下図で、点
Pは点に重なって見えます。点Ry座標をyとして点Rは点に重なって見えます。直線PBは、平面上でとなりますが、ここで、とすると、
よって、R ・・・C (本問には無関係ですが、SRy座標の符号が逆になります)
八面体PABCDEの平面αによる切り口のうち、の部分を点が動くとき、座標平面上で点が動く範囲は、右図のようになります。B,C,@より、点Q,点R,点Mは平面上の点,点,点に重なって見えます。
求める面積は、
......[]



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