東大理系数学'19年前期[4]
nを1以上の整数とする。
(1) との最大公約数を求めよ。
(2) は整数の2乗にならないことを示せ。


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解答　(2)は、互いに素である2個の奇数の積は平方数でない、とは言えないので、注意が必要です。例えば、とは互いに素ですが、両者の積は平方数です。

(1) との最大公約数をmとします。k，lを整数として、
　･･･①
　･･･②
とおけます。②－①×5より、
は整数なので、mは4の約数であり、に限られます。･･･(＊)
・nが奇数のときpを整数として、とおくと、
よって、は4で割ると2余る数で、2の倍数ですが4の倍数ではありません。このとき、
よって、は4で割ると2余る数で、2の倍数ですが4の倍数ではありません。
従って、(＊)より、との最大公約数はです。
・nが偶数のときpを整数として、とおくと、
は奇数です。
は奇数です。(＊)より、とは1以外の奇数の約数を持ちえないので、最大公約数はです。
以上より、nが奇数のとき，nが偶数のとき ......[答]

(2) となる整数Mを探す、という方針も考えられますが、のとき、ですが、とするときの、と145の差が小さく、簡単に行きそうもありません。実際にやってみると、Mの取り方に規則性がなく行き詰ります。
そこで、(1)の利用を考えることになります。
・nが偶数のとき、(1)より、，は互いに素なので、を素因数分解したときに素数pを含むと、を素因数分解したときに素数pを含みません。が平方数になるためには、を素因数分解したときに素数pを偶数個含まなければならないので、そもそもを素因数分解したときに素数pを偶数個含むことになります。つまりは平方数である必要があります。qが整数のとき、，は平方数ですが、その差は、のとき、
であって、平方数に対して、との差が1であるは平方数になり得ません。が平方数になり得ないので、は平方数になりません。
・nが奇数のとき、(1)より、，は最大公約数2を持ちます。
p を0以上の整数として、とおくと、

は4の倍数ですが、nが偶数のときと同様に、が平方数であるためには、とがともに平方数でなければなりません。s，tを整数として、

　･･･①
とおけます。は5で割ると2余る数です。mを整数、rをを満たす整数として、とおく(剰余類を参照)と、
のとき，その各々に対して、を5で割った余りは、0，1，4，4，1です。を5で割ったときに余り2になることはありません。よって、等式①が成立することはありません。
従ってとがともに平方数になることはなく、は平方数になりません。
以上より、が整数の2乗にならないことが示されました。



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