東大理系数学'19年前期[4]

n1以上の整数とする。
(1) の最大公約数を求めよ。
(2) は整数の2乗にならないことを示せ。


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解答 (2)は、互いに素である2個の奇数の積は平方数でない、とは言えないので、注意が必要です。例えば、は互いに素ですが、両者の積は平方数です。

(1) 最大公約数mとします。klを整数として、
 ・・・@
 ・・・A
とおけます。A−@×5より、
は整数なので、m4の約数であり、に限られます。・・・()
nが奇数のときpを整数として、とおくと、
よって、4で割ると2余る数で、2の倍数ですが4の倍数ではありません。このとき、
よって、4で割ると2余る数で、2の倍数ですが4の倍数ではありません。
従って、
()より、の最大公約数はです。
nが偶数のときpを整数として、とおくと、
は奇数です。
は奇数です。()より、1以外の奇数の約数を持ちえないので、最大公約数はです。
以上より、nが奇数のときnが偶数のとき ......[]

(2) となる整数Mを探す、という方針も考えられますが、のとき、ですが、とするときの、145の差が小さく、簡単に行きそうもありません。実際にやってみると、Mの取り方に規則性がなく行き詰ります。
そこで、(1)の利用を考えることになります。
nが偶数のとき、(1)より、は互いに素なので、を素因数分解したときに素数pを含むと、を素因数分解したときに素数pを含みません。が平方数になるためには、を素因数分解したときに素数pを偶数個含まなければならないので、そもそもを素因数分解したときに素数pを偶数個含むことになります。つまりは平方数である必要があります。qが整数のとき、は平方数ですが、その差は、のとき、
であって、平方数に対して、との差が1であるは平方数になり得ません。が平方数になり得ないので、は平方数になりません。
nが奇数のとき、(1)より、は最大公約数2を持ちます。
p 0以上の整数として、とおくと、

4の倍数ですが、nが偶数のときと同様に、が平方数であるためには、がともに平方数でなければなりません。stを整数として、

 ・・・@
とおけます。5で割ると2余る数です。mを整数、rを満たす整数として、とおく(剰余類を参照)と、
のとき,その各々に対して、5で割った余りは、01441です。5で割ったときに余り2になることはありません。よって、等式@が成立することはありません。
従ってがともに平方数になることはなく、は平方数になりません。
以上より、が整数の2乗にならないことが示されました。



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