東大理系数学'21年前期[2]

複素数abcに対して整式を考える。iを虚数単位とする。
(1) αβγを複素数とする。が成り立つとき、abcをそれぞれαβγで表せ。
(2) がいずれも1以上2以下の実数であるとき、のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答 (2)は第1問と同じようなことになってしまいますが、こちらは動くものが3つです。

(1)  ・・・@, ・・・A, ・・・B
A+Bより、,@を代入し、 (複素数の計算を参照)より、

これと@をAへ代入し、
......[]
(2) (1)の結果より、
(xyは実数)とおくと、
 ・・・C, ・・・D
3文字動くのでは大変なので、2式より1文字ずつ消去して考えます。
C+Dより、 ∴
より、

(左の等号はのとき,右の等号はのとき)
より、,よって、
,つまり、 (左の等号はかつのとき、右の等号はかつのとき) ・・・E
C−D×3より、 ∴ より、

(左の等号はのとき、右の等号はのとき)
より、,よって、
,つまり、 (左の等号はかつのとき、右の等号はかつのとき) ・・・F
2−Dより、 ∴ より、

(左の等号はのとき、右の等号はのとき)
より、,よって、
,つまり、 (左の等号はかつのとき、右の等号はかつのとき) ・・・G
かつかつより、求める範囲は、EかつFかつGです。図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)(不等式の表す領域を参照)

追記.右下図に、求める範囲の境界線上、頂点で、αβγがどのような値をとるか、を書いておきます。どうして、右上図のような範囲になるかがわかると思います。
注,C,Dを、と見ると、として、より、α1から2まで動くときに、となる点1頂点としてで作られる平行四辺形(ベクトルの1次独立を参照)が、頂点からまで動くように平行移動(の方向に)して通過する部分が求める範囲(右図薄緑色部分)になります。




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