東大理系数学'21年前期[5]

aを正の実数とする。におけるθの関数を、座標平面上の2AP間の距離AP2乗として定める。
(1) の範囲にとなるθがただ1つ存在することを示せ。
(2) 以下が成り立つようなαの範囲を求めよ。
におけるθの関数は、区間のある点において最大になる。

解答 多少複雑ですが、微分して行くに従ってだんだん簡単になるタイプです。なお、微分法の方程式への応用(2)を参照してください。

(1)

とすると、より、
より、
増減表は以下のようになります。
θ0  π
 0 
04

増減表より、ですが、は、の範囲にただ1つの解βを持ちます。
より、の増減表は以下のようになります。

θ0 β π
 0 
0

増減表より、なので、の範囲にとなるθがただ1つ存在します。
(2) (1)の増減表において、ですが、において単調減少で、内のある点において最大になるためには、内のどこかで、が極大、つまり,よってとなることが必要です。このとき、となりますが、は、の範囲にただ1つの解γを持ちます。
より、における増減表は以下のようになります。
θ0 γ 
 0 

増減表より、のある点において最大になります。よって、求めるαの範囲は、 ......[]



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