東大理系数学'21年前期[6]

定数bcpqrに対し、
xについての恒等式であるとする。
(1) であるとき、qrpbで表せ。
(2) とする。bcが定数aを用いて
と表されているとき、有理数を係数とするt についての整式
を満たすものを1組求めよ。
(3) aを整数とする。x4次式
が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるようなaをすべて求めよ。

解答 (3)は、(1)(2)を利用して考えますが、仕掛けが複雑で、どうすればよいか、ということ自体が考えにくい問題です。方針が立っても、落とし穴がいくつか待っているので、細心の注意が必要です。

 ・・・@

(1) @の右辺を展開すると、
@左辺と各項の係数を比較すると、
 ・・・A
 ・・・B
 ・・・C
Aより、 ・・・D
Bに代入して、 ∴
......[]
Dに代入して、 ......[]
(2) (1)の結果をCに代入して、
より、

より、 ・・・E
問題文の式: ・・・F の左辺を
展開すると
Eと各項の係数を比較すると、
 ・・・G
 ・・・H
 ・・・I
Gより、
なのでIより、
これらをH式右辺に代入すると、
H式左辺になるので、 ......[] G,Hより、条件に適すのはこの1組であって、これ以外にはありません。
(3) bc(2)の問題文中に与えられているものだとして、と因数分解できたとします。
右辺を展開すると、
係数を比較して、

これより、
という形に因数分解できます
(はDと同じ)
 ・・・J
因数分解できるとすると、(2)より、Fによって有理数pを定めれば、(1)の結果を用いて有理数qrを決めることにより因数分解できるわけです。
Fより、 ・・・K または、 ・・・L
・Kとなるとき、だとして、pが有理数、つまり ()有理数だと仮定すると、mnを互いに素な自然数として、
とおけます。2乗してをかけると、 ・・・M
これより、
nの倍数で、とおけます。Mに代入すると、

これは、mの倍数であることを意味し、mnが互いに素ではなくなり、ではは無理数になってしまいます。
従って、です。
このとき、
(2)の問題文中の式より、で、(1)の結果を用いて、のとき、,または、のとき、となり、いずれにしてもJは
と有理数を係数とする2次式の積に因数分解できます。
・Lとなるとき、Lをに関する2次方程式とみると実数解を持つので、判別式Dについて、
(2)の結果より、
なので、,即ち、
より、,よって、です。またLを解いて、です。
(i) のとき、より、です。
このとき、(2)の問題文中の式より、となりますが、Aより,Cより,これを満たす有理数qrは存在しません。つまり、このときJ:は有理数係数の2次式の積の形には因数分解できません。
(ii) のとき、,このときはが無理数で、は有理数にならず、となりますが、J:は有理数係数の2次式の積の形には因数分解できません。。
(iii) のとき、,このときはが無理数で、は有理数にならず、となりますが、J:は有理数係数の2次式の積の形には因数分解できません。
以上より、問題文の4次式が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるようなaは、 ......[]
注.に関する2次方程式Lは、解かなくても、のとき、
であって、の範囲に実数解を持たず、実数解はあったとしてものときのに限られます。これに気づけば、上記の(ii)(iii)の場合分けは不要になります。


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