東大理系数学'21年前期[6]
定数b，c，p，q，rに対し、
がxについての恒等式であるとする。
(1) 
であるとき、q，rをp，bで表せ。 (2) 
とする。b，cが定数aを用いて 
，
と表されているとき、有理数を係数とするt についての整式
と
で を満たすものを1組求めよ。
(3) aを整数とする。xの4次式
が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるようなaをすべて求めよ。
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解答 (3)は、(1)(2)を利用して考えますが、仕掛けが複雑で、どうすればよいか、ということ自体が考えにくい問題です。方針が立っても、落とし穴がいくつか待っているので、細心の注意が必要です。
･･･①
①左辺と各項の係数を比較すると、
②より、
･･･⑤
③に代入して、
∴ 
......[答]⑤に代入して、
......[答] (2) (1)の結果を④に代入して、
より、
∴ 
より、
･･･⑥
問題文の式：
･･･⑦ の左辺を展開すると⑥と各項の係数を比較すると、
⑧より、
なので⑩より、
これらを⑨式右辺に代入すると、 ⑨式左辺になるので、
，
......[答] ⑧，⑨より、条件に適すのはこの1組であって、これ以外にはありません。 (3) b，cが(2)の問題文中に与えられているものだとして、
と因数分解できたとします。 右辺を展開すると、
係数を比較して、
，
∴ 
，
これより、
という形に因数分解できます(
は⑤と同じ)。 
･･･⑪と因数分解できるとすると、(2)より、⑦によって有理数pを定めれば、(1)の結果を用いて有理数q，rを決めることにより因数分解できるわけです。
⑦より、
･･･⑫ または、
･･･⑬ ・⑫となるとき、
だとして、pが有理数、つまり
(
)が有理数だと仮定すると、m，nを互いに素な自然数として、 とおけます。2乗して
をかけると、
･･･⑭
これより、nは
の倍数で、
とおけます。⑭に代入すると、
∴ 
これは、mが
の倍数であることを意味し、m，nが互いに素ではなくなり、
では
は無理数になってしまいます。
従って、
，
です。
このとき、(2)の問題文中の式より、
，
で、(1)の結果を用いて、
のとき、
，
，または、
のとき、
，
となり、いずれにしても⑪は と有理数を係数とする2次式の積に因数分解できます。 ・⑬となるとき、⑬を
に関する2次方程式とみると実数解を持つので、判別式Dについて、 (2)の結果より、
なので、
，即ち、
より、
，よって、
です。また⑬を解いて、
です。このとき、(2)の問題文中の式より、
，
となりますが、②より
，④より
，これを満たす有理数q，rは存在しません。つまり、このとき⑪：
は有理数係数の2次式の積の形には因数分解できません。 (ii) 
のとき、
，
，このときは
が無理数で、
は有理数にならず、
，
となりますが、⑪：
は有理数係数の2次式の積の形には因数分解できません。。 (iii) 
のとき、
，
，このときは
が無理数で、
は有理数にならず、
，
となりますが、⑪：
は有理数係数の2次式の積の形には因数分解できません。 以上より、問題文の4次式が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるようなaは、
......[答]注．
に関する2次方程式⑬は、解かなくても、
のとき、 であって、
の範囲に実数解を持たず、実数解はあったとしても
のときの
に限られます。これに気づけば、上記の(ii)
，(iii)
の場合分けは不要になります。
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･･･②
･･･③
･･･④
･･･⑧
･･･⑨
･･･⑩
のとき、
，
，
，
，
より、
です。