東大理系数学'22年前期[3]
Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点S，Tに対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
　または　
が成り立つことと定義する。
不等式
，
が表す正方形の領域をDとし、その2つの頂点A，Bを考える。さらに、次の条件(i)，(ii)をともに満たす点Pをとる。
(i) 点Pは領域Dの点であり、かつ、放物線上にある。
(ii) 点Pは、3点O，A，Bのいずれからも十分離れている。
点Pのx座標をaとする。
(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件(iii)，(iv)をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積を求めよ。
(iii) 点Qは領域Dの点である。
(iv) 点Qは、4点O，A，B，Pのいずれからも十分離れている。
(3) aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)のを最小にするaの値を求めよ。
解答　ややこしいですが、計算ミスに注意して、確実にものにしたい問題です。

(1) 点Pは領域D内の点なので、かつより、
点Oから十分離れているので、または
点Aから十分離れているので、または
点Bから十分離れているので、または
以上より、 かつ "または" かつ "またはまたはまたは"
即ち、 かつ
と合わせて、 ......[答]

(2) Qの座標をとすると、点Qが領域D内の点であることから、，
点Oから十分離れているので、または
点Aから十分離れているので、または
点Bから十分離れているので、または
点Pから十分離れているので、または
以上より、"または" かつ "またはまたは" かつ "またはまたはまたは" かつ "またはまたはまたは"
即ち、"または" かつ "または" かつ "または" かつ "またはまたはまたは"
・のときは、，となるので、
かつの面積は、
かつの面積は、
かつの面積は、
かつの面積は、
・のときは、，となるので、
かつの面積が，ここから、かつの面積1の正方形とかつの面積1の正方形を除いて、
かつの面積は、
かつの面積は、
以上より、のとき、，のとき、 ......[答]

(3) のとき、
，とすると、，より、において，この範囲では単調減少で、
のとき、，軸の位置：より、はで最小です。
以上より、を最小にするaの値は、 ......[答]


　　　東大理系数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
　雑誌「大学への数学」出版元