東大理系数学'22年前期[3]
Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点S
，T
に対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
または 
不等式
，
，B
を考える。さらに、次の条件(i)，(ii)をともに満たす点Pをとる。
(i) 点Pは領域Dの点であり、かつ、放物線
上にある。(ii) 点Pは、3点O，A，Bのいずれからも十分離れている。 点Pのx座標をaとする。
(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件(iii)，(iv)をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積
を求めよ。 (iii) 点Qは領域Dの点である。
(iv) 点Qは、4点O，A，B，Pのいずれからも十分離れている。
(3) aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)の
を最小にするaの値を求めよ。
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解答 ややこしいですが、計算ミスに注意して、確実にものにしたい問題です。なお、絶対値記号を含む1次方程式・1次不等式を参照してください。
点Pが、
点Oから十分離れているので、
または
点Aから十分離れているので、
または
点Bから十分離れているので、
または
の範囲で考えて、以上より、
かつ "
または
" かつ "
または
または
または
"即ち、
かつ "
" かつ "
または
"即ち、
かつ 
と合わせて、
......[答] 
別解．上記は不等式で解答しましたが、条件(ii)を満たす領域を図示(右図黄色着色部、境界線含む)して、その領域内の放物線
の部分(
に存在します。右図太線部分)を考える方が容易です。
(2) Qの座標を
とすると、点Qが領域D内の点であることから、
，
点Qが、
点Oから十分離れているので、
または
点Aから十分離れているので、
または
点Bから十分離れているので、
または
点Pから十分離れているので、
または
，
の範囲で考えて、以上より、"
または
" かつ "
または
または
" かつ "
または
または
または
" かつ "
または
または
または
"即ち、"
または
" かつ "
または
" かつ "
または
" かつ "
または
または
または
"不等式がたくさん出てきますが、このうち問題になるのは、
，
，
，
です。(1)より
ですが、
，
，
はPが領域D内にあるときには、x，yの範囲の限界の値として、問題なしです。
については、
となるので、Pが領域D内にあっても、x，yの範囲の限界の値が、領域Dに入らない場合があります。そこで、
になる場合と
になる場合とで、場合分けします。
・
のときは、
，
となるので、 
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
かつ
の面積が
，ここから、
かつ
の面積1の正方形と
かつ
の面積1の正方形を除いて、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
別解．(2)も、不等式で考察を進めても、面積を計算するときには、重複して計算しないように、それぞれ長方形を描いて確認する必要があるので、最初から条件(ii)を満たす領域から、点Pから十分に離れていない領域(点P
を中心とし各辺がx軸またはy軸に平行である1辺2の正方形の内側)を除いた部分(右図黄色着色部、境界線含む)を図示して考える方が安全確実です。上記で述べたように、
となる場合と
となる場合で分けて図示して考えることになります。
(3) 
のとき、
，
とすると、
，
より、
において
，この範囲で
は単調減少で、
(3次関数の最大最小を参照)
のとき、
，軸の位置：
より、
は
で最小(2次関数の最大最小を参照)です。
以上より、
を最小にするaの値は、
......[答]
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は領域D内の点なので、
かつ
より、
のときは、
，
となるので、
のとき、
，
のとき、
......[答]