東大理系数学
'22
年前期
[3]
O
を原点とする座標平面上で考える。座標平面上の
2
点
S
,
T
に対し、点
S
が点
T
から十分離れているとは、
または
が成り立つことと定義する。
不等式
,
が表す正方形の領域を
D
とし、その
2
つの頂点
A
,
B
を考える。さらに、次の条件
(i)
,
(ii)
をともに満たす点
P
をとる。
(i)
点
P
は領域
D
の点であり、かつ、放物線
上にある。
(ii)
点
P
は、
3
点
O
,
A
,
B
のいずれからも十分離れている。
点
P
の
x
座標を
a
とする。
(1)
a
のとりうる値の範囲を求めよ。
(2)
次の条件
(iii)
,
(iv)
をともに満たす点
Q
が存在しうる範囲の面積
を求めよ。
(iii)
点
Q
は領域
D
の点である。
(iv)
点
Q
は、
4
点
O
,
A
,
B
,
P
のいずれからも十分離れている。
(3)
a
は
(1)
で求めた範囲を動くとする。
(2)
の
を最小にする
a
の値を求めよ。
解答
ややこしいですが、計算ミスに注意して、確実にものにしたい問題です。
(1)
点
P
は領域
D
内の点なので、
かつ
より、
点
O
から十分離れているので、
または
点
A
から十分離れているので、
または
点
B
から十分離れているので、
または
以上より、
かつ
"
または
"
かつ
"
または
または
または
"
即ち、
かつ
と合わせて、
......[
答
]
(2) Q
の座標を
とすると、点
Q
が領域
D
内の点であることから、
,
点
O
から十分離れているので、
または
点
A
から十分離れているので、
または
点
B
から十分離れているので、
または
点
P
から十分離れているので、
または
以上より、
"
または
"
かつ
"
または
または
"
かつ
"
または
または
または
"
かつ
"
または
または
または
"
即ち、
"
または
"
かつ
"
または
"
かつ
"
または
"
かつ
"
または
または
または
"
・
のときは、
,
となるので、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
・
のときは、
,
となるので、
かつ
の面積が
,ここから、
かつ
の面積
1
の正方形と
かつ
の面積
1
の正方形を除いて、
かつ
の面積は、
かつ
の面積は、
以上より、
のとき、
,
のとき、
......[
答
]
(3)
のとき、
,
とすると、
,
より、
において
,この範囲で
は単調減少で、
のとき、
,軸の位置:
より、
は
で最小です。
以上より、
を最小にする
a
の値は、
......[
答
]
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