東京大学理系2022年前期数学入試問題
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[1] 次の関数
を考える。
(
)(1) 
は区間
において最小値を持つことを示せ。 (2) 
の区間
における最小値を求めよ。 [解答へ]
[2] 数列
を次のように定める。
(1) 正の整数nが3の倍数のとき、
は5の倍数となることを示せ。 (2) k，nを正の整数とする。
が
の倍数となるための必要十分条件をk，nを用いて表せ。 (3) 
と
の最大公約数を求めよ。
[解答へ]
[3] Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点S
，T
に対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
または 
不等式
，
，B
を考える。さらに、次の条件(i)，(ii)をともに満たす点Pをとる。
(i) 点Pは領域Dの点であり、かつ、放物線
上にある。(ii) 点Pは、3点O，A，Bのいずれからも十分離れている。 点Pのx座標をaとする。
(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件(iii)，(iv)をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積
を求めよ。 (iii) 点Qは領域Dの点である。
(iv) 点Qは、4点O，A，B，Pのいずれからも十分離れている。
(3) aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)の
を最小にするaの値を求めよ。 [解答へ]
[4] 座標平面上の曲線
C：
(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。
(i) 点Pを通る直線
で、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。 (2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(ii) 点Pを通る直線
で、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線
と曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。 [解答へ]
[5] 座標空間内の点A
と点B
を結ぶ線分をz軸のまわりに1回転させて得られる曲面をSとする。S上の点Pとxy平面上の点Qが
を満たしながら動くとき、線分PQの中点が通過しうる範囲をKとする。Kの体積を求めよ。
[解答へ]
[6] Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル
を
と定める。投げたとき表と裏がどちらも
の確率で出るコインをN回投げて、座標平面上に点
，
，
，･･･，
を以下の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) 
はOにある。 (ii) nを1以上N以下の整数とする。
が定まったとし、
を次のように定める。 ・n回目のコイン投げで表が出た場合、
により
を定める。ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。 ・n回目のコイン投げで裏が出た場合、
を
と定める。 (1) 
とする。
がOにある確率を求めよ。 (2) 
とする。
がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率を
とおく。ただし
である。
を求めよ。また
が最大となるrの値を求めよ。 [解答へ]
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