東大理系数学'22年前期[4]
座標平面上の曲線
C：
(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。
(i) 点Pを通る直線
で、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。 (2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(ii) 点Pを通る直線
で、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線
と曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。
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解答 直線と3次曲線で囲む2つの部分の面積が等しくなるのは、直線が変曲点を通る場合です。3次曲線が変曲点について対称だからです。試験会場で時間に追われる場合、減点覚悟でこの事実(3次関数のグラフを参照)を用いて解答することもできます。
(1) 点P
を通る直線：
･･･① C：
と連立すると、
･･･② とおくと、
が相異なる3実数解を持つ条件は、極大値・極小値＜0 (3次方程式を参照)
とおくと、
は3次関数で、
より、任意の実数p，qに対して、となるm (
)が存在します。よって、座標平面上のすべての点Pが条件(i)を満たします。
(2) (1)により、座標平面上の任意の点から曲線Cと相異なる3交点を有する直線を引くことができるので、この直線を①として、C：
と連立すると、②の
について、3次方程式：
は3つの相異なる実数解α，β，γ (
)を持ち、 です。
において
，
において
より、曲線Cと直線①とで囲む2つの部分の面積が等しいので、 ③より、
なので、
，よって、 
より、
(つまり、2つの部分の面積が等しいとき、直線は変曲点、本問では原点、を通ります)です。このとき、③より、
∴ 
･･･④
直線①は、
また、③の2番目の式で
として、
③の1番目の式で
として、
より、
，また、
，よって、
･･･⑤
，
のとき、変曲点と結ぶ直線(y軸)は曲線Cと、問題文中にある2つの部分を作らないので、
(原点)の場合を除いて
です。
として④より
，⑤より、
のとき、
，つまり、
のとき、
，つまり、
のときは、
であれば⑤を満たすので、条件(ii)を満たす直線が存在します。
点Pのとりうる範囲を図示すると右図黄緑色着色部(原点を含み、原点以外の境界線上を除く)。
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とすると、
であれば、
，
，
･･･③
