東大理系数学'22年前期[4]
座標平面上の曲線
C:
(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。
(i) 点Pを通る直線
で、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。 (2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(ii) 点Pを通る直線
で、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線
と曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。
解答 直線と3次曲線で囲む2つの部分の面積が等しくなるのは、直線が変曲点を通る場合です。3次曲線が変曲点について対称だからです。試験会場で時間に追われる場合、減点覚悟でこの事実を用いて解答してしまっても良いでしょう。
(1) 点P
を通る直線:
・・・@ C:
と連立すると、
・・・A とおくと、
が相異なる3実数解を持つ条件は、極大値・極小値<0
とおくと、
は3次関数で、
より、任意の実数p,qに対して、となるmが存在します。よって、座標平面上のすべての点Pが条件(i)を満たします。
(2) (1)により、座標平面上の任意の点から曲線Cと3交点を有する直線を引くことができるので、この直線を@として、C:
と連立すると、Aの
について、3次方程式:
は3つの相異なる実数解α,β,γを持ち、 となります。ここに、3次方程式の解と係数の関係より、
です。
において
,
において
より、曲線Cと直線@とで囲む2つの部分の面積が等しいので、 Bより、
なので、
,よって、
より、
(つまり、2つの部分の面積が等しいとき、直線は変曲点を通ります)です。このとき、Bより、
∴
・・・C
直線@は、
また、Bの2番目の式で
として、
Bの1番目の式で
として、
より、
,よって、
・・・D
,
のとき、変曲点と結ぶ直線は曲線Cと2つの部分を作らないので、
(原点)を除いて
です。
としてCより
,Dより、
のとき、
,つまり、
のとき、
,つまり、
点Pのとりうる範囲を図示すると右図黄緑色着色部(原点、x軸を含み、原点以外の境界線上を除く)。
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