東大理系数学'22年前期[4]

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座標平面上の曲線

C：

(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。

(i) 点Pを通る直線で、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。

(2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(ii) 点Pを通る直線で、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線と曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

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解答　直線と3次曲線で囲む2つの部分の面積が等しくなるのは、直線が変曲点を通る場合です。3次曲線が変曲点について対称だからです。試験会場で時間に追われる場合、減点覚悟でこの事実(3次関数のグラフを参照)を用いて解答することもできます。

(1) 点Pを通る直線：　･･･�@

C：と連立すると、

　･･･�A　とおくと、

とすると、であれば、

が相異なる3実数解を持つ条件は、極大値・極小値＜0 (3次方程式を参照)

とおくと、は3次関数で、より、任意の実数p，qに対して、

となるm ()が存在します。よって、座標平面上のすべての点Pが条件(i)を満たします。

(2) (1)により、座標平面上の任意の点から曲線Cと相異なる3交点を有する直線を引くことができるので、この直線を�@として、C：と連立すると、�Aのについて、3次方程式：は3つの相異なる実数解α，β，γ ()を持ち、

となります。ここに、3次方程式の解と係数の関係より、

，，　･･･�B

です。において，においてより、曲線Cと直線�@とで囲む2つの部分の面積が等しいので、

∴ 　(定積分を参照)

　(定積分の公式を参照)

�Bより、なので、，よって、

より、 (つまり、2つの部分の面積が等しいとき、直線は変曲点、本問では原点、を通ります)です。このとき、�Bより、　∴ 　･･･�C
直線�@は、
また、�Bの2番目の式でとして、
�Bの1番目の式でとして、より、，また、，よって、

　･･･�D

，のとき、変曲点と結ぶ直線(y軸)は曲線Cと、問題文中にある2つの部分を作らないので、(原点)の場合を除いてです。として�Cより，�Dより、

　(不等式の証明を参照)

のとき、，つまり、
のとき、，つまり、
のときは、であれば�Dを満たすので、条件(ii)を満たす直線が存在します。
点Pのとりうる範囲を図示すると右図黄緑色着色部(原点を含み、原点以外の境界線上を除く)。

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