3次関数のグラフ 関連問題
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3次関数：
(
) ････① のグラフを調べます。
を微分すると、
とすると、
･･･②
この2次方程式の判別式：
として(2次方程式の一般論を参照)、
(i) 
の場合は、②は、相異なる2実数解α，β(
)を持ちます。 
･･･③増減表は、以下のようになります。
グラフは右図黒線(i)のようになります。
は、
のとき極大値
，
のとき極小値
をとります。 (ii) 
の場合は、②は、重解αを持ちます。 これより、
は単調増加で、グラフは右図赤線(ii)のようになります。
において、
で
のグラフの接線の傾きは0になり、接線はx軸に平行になります。 (iii) 
の場合は、②は、実数解を持ちません。 
は単調増加で、
の接線の傾きは常に正で、グラフは右図青線(iii)のようになります。
(i)の場合に、③を積分すると、
(C：積分定数)
を考えると、
で極大になるので、当然
が重解になります。もう1つの解をγとすると、3次方程式の解と係数の関係より、
∴ 
を考えると、
で極小になるので、
が重解になり、もう1つの解をδとすると、
∴ 
また③を微分して、
とすると、
，これは、2次関数
の軸の位置ですが、曲線
は、変曲点
を持ちます。
2次関数
のグラフは軸
に関して線対称ですが、このために、3次関数
のグラフは変曲点に関して対称になります。つまり、
のとき、
また、極小値
と同じ関数値となる位置
(
)，極大値の位置
，変曲点位置
，極小値の位置
，極大値と同じ関数値となる位置
について、それぞれの差を調べると、
となり、すべて等しく、δ，α，
，β，γは等間隔に並んでいることがわかります。これらを図示すると、右図のようになっています。
また、④を用いると、極大値と極小値の和を求めよ、というときには、極大値の位置
と極小値の位置
は、変曲点の位置に関して対称なところにあるので、極大値と極小値の和
を、変曲点における関数値の2倍
として求めることができます。
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より、
･･･④
，
，
，
