東大理系数学'22年前期[1]
次の関数を考える。
()
(1) は区間において最小値を持つことを示せ。
(2) の区間における最小値を求めよ。


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解答　積分方程式の問題ですが、積分方程式を解かなくても解答できてしまいます。

(1) 与式をxで微分すると、
より，
とすると、または
においては、
増減表は、以下のようになります(関数の増減を参照)。
x0　　
0−0＋×
×


増減表より、は区間において最小値を持ちます。

(2) (1)の増減表より、が区間においてとる最小値はです。
与式の積分をとおいて、とすると、
　(部分積分法を参照)




　(三角関数の積分を参照)



よって、
......[答]



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