東大理系数学'22年前期[5]
座標空間内の点A
と点B
を結ぶ線分をz軸のまわりに1回転させて得られる曲面をSとする。S上の点Pとxy平面上の点Qが
を満たしながら動くとき、線分PQの中点が通過しうる範囲をKとする。Kの体積を求めよ。
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解答 以下の解答は、解く前からわかっていれば、もっと違うものになると思います。ここでは、試験会場で考えを進めるような流れで解答します。
曲面Sは直円錐です。zx平面上で直線ABは
と表されます。曲面S上の点Pのz座標をt (
)とすると、点Pがzx平面上に来るとき、点Pのx座標は、
となり、曲面Sを、点Pを含みz軸に垂直な平面
で切ったときにできる切り口の円周
上の点とz軸との距離は
です。
右図より、三角形の相似から、1：
= 1：rとして、
と求めることもできます。
点Pは、z軸上の点
を中心とする半径rの円周
上の点なので、平面
上で、その座標は実数θを用いて、
と表せます(円の媒介変数表示を参照)。
点Pからxy平面に垂線PHを下ろすと、
より、
点Pから距離2である点は、点Pを中心とする半径2の球面上の点ですが、
であるxy平面上点Qは、この球面をxy平面で切ったときにできる切り口の円周
上の点です。この円周
の中心は点H
，半径はQHです。点Qの座標は実数φを用いて、
と表されます。線分PQの中点M
の座標は、
として、
θ，φが全実数をとって動くときの点Mの通過範囲がKなのですが、2つの変数θ，φが動くのでは、考えにくいのです。このまま強行する方法も別解で後述しますが、ここでは図形的に考察します。
上記を見ると、点Mは、平面
上で、点
を中心とする半径Rの円周
上の点になっています。円周
の中心はz軸上の点
を中心とする半径rの円周
上にあります。つまり、θ，φが全実数をとって動くとき、円周
は、その中心が
上を動きながら動くことになります。その通過範囲は右図の黄色着色部のようになります(平面
上なので、図のx軸、y軸は、それぞれ、実際のx軸、y軸をこの平面上までxy平面と垂直な方向に平行移動させたものになります)。内側に、点Mが通過しない部分ができることに注意してください。
通過範囲の外側の円周は、z軸上の点を中心とする半径
の円周です。
ここで、問題となることがあります。通過範囲の内側の円周を考えたいのですが、Rとrの大小関係が分かりません。
とすると、
より、
このとき、右図(i)のように、z軸に近いところに、
が通過しない部分ができます。この部分は、
を中心とする半径
の円になります。
のとき、つまり、
のときには、右図(ii)のように、やはりz軸に近いところに、
が通過しない部分ができるのですが、この部分は、
を中心とする半径
の円になります。
どちらの場合も立体Kを平面
で切ったときの断面の面積は、
の場合も含めて、
(
) ･･･①
ではありません。t は、点Pのz座標であって、点Mのz座標ではないからです。点Mを通る平面で切った断面積が①なので、積分は点Mのz座標について行う必要があります。
断面積①を
(
)で表すと、①は、
となります。これを
の範囲で積分して、求めるKの体積Vは、
は、半径1の円の
から、底辺
，高さ
の三角形を除いたもの(置換積分(その2)を参照)で、
は、
とおく(置換積分を参照)と、
，z：
のとき、u：
，
より、
∴ 
......[答]
の座標について、
のまま、計算だけで進めるとどうなるか、考えてみます。まず、②，③から、φを消去すると、
(三角関数の諸公式を参照)より、
，
，
として、 
より、こうして、図形的考察と同じ結果が得られます。試験会場では、こうして腕尽くで計算で押しても充分に制限時間に入ると思います。
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(
のとき
です)
，
となる角