と点B
を結ぶ線分をz軸のまわりに1回転させて得られる曲面をSとする。S上の点Pとxy平面上の点Qが
を満たしながら動くとき、線分PQの中点が通過しうる範囲をKとする。Kの体積を求めよ。
と表されます。曲面S上の点Pのz座標をt (
)とすると、点Pがzx平面上に来るとき、点Pのx座標は、
となり、曲面Sを、点Pを含みz軸に垂直な平面
で切ったときにできる切り口の円周
上の点とz軸との距離は
です。
右図より、三角形の相似から、1：
= 1：rとして、
と求めることもできます。
を中心とする半径rの円周
上の点なので、平面
上で、その座標は実数θを用いて、
と表せます(円の媒介変数表示を参照)。
より、
であるxy平面上点Qは、この球面をxy平面で切ったときにできる切り口の円周
上の点です。この円周
の中心は点H
，半径はQHです。点Qの座標は実数φを用いて、
の座標は、
として、
上で、点
を中心とする半径Rの円周
上の点になっています。円周
の中心はz軸上の点
を中心とする半径rの円周
上にあります。つまり、θ，φが全実数をとって動くとき、円周
は、その中心が
上を動きながら動くことになります。その通過範囲は右図の黄色着色部のようになります(平面
上なので、図のx軸、y軸は、それぞれ、実際のx軸、y軸をこの平面上までxy平面と垂直な方向に平行移動させたものになります)。内側に、点Mが通過しない部分ができることに注意してください。
の円周です。
とすると、
より、
が通過しない部分ができます。この部分は、
を中心とする半径
の円になります。
のとき、つまり、
のときには、右図(ii)のように、やはりz軸に近いところに、
が通過しない部分ができるのですが、この部分は、
を中心とする半径
の円になります。
で切ったときの断面の面積は、
の場合も含めて、
(
) ･･･①
ではありません。t は、点Pのz座標であって、点Mのz座標ではないからです。点Mを通る平面で切った断面積が①なので、積分は点Mのz座標について行う必要があります。
(
)で表すと、①は、
の範囲で積分して、求めるKの体積Vは、
は、半径1の円の
から、底辺
，高さ
の三角形を除いたもの(置換積分(その2)を参照)で、
は、
とおく(置換積分を参照)と、
，z：
のとき、u：
，
より、
......[答]
の座標について、
･･･②
･･･③
より、
(
のとき
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，
，
として、
(δは、
，
となる角) (