東大理系数学
'22
年前期
[5]
座標空間内の点
A
と点
B
を結ぶ線分を
z
軸のまわりに
1
回転させて得られる曲面を
S
とする。
S
上の点
P
と
xy
平面上の点
Q
が
を満たしながら動くとき、線分
PQ
の中点が通過しうる範囲を
K
とする。
K
の体積を求めよ。
解答
以下の解答は、解く前からわかっていれば、もっと違うものになると思います。ここでは、試験会場で考えを進めるような流れで解答します。
曲面
S
は直円錐です。
zx
平面上で直線
AB
は
と表されます。曲面
S
上の点
P
の
z
座標を
t
(
)
とすると、点
P
が
zx
平面上に来るとき、点
P
の
x
座標は、
となり、曲面
S
を、点
P
を含み
z
軸に垂直な平面
で切ったときにできる切り口の円周
上の点と
z
軸との距離は
です。
右図より、三角形の相似から、
1
:
= 1
:
r
として、
と求めることもできます。
点
P
は、
z
軸上の点
を中心とする半径
r
の円周
上の点なので、平面
上で、その座標は実数
θ
を用いて、
と表せます。
点
P
から
xy
平面に垂線
PH
を下ろすと、
より、
点
P
から距離
2
である点は、点
P
を中心とする半径
2
の球面となりますが、
である
xy
平面上点
Q
は、この球面を
xy
平面で切ったときにできる切り口の円周
上の点です。この円周
の中心は点
H
,半径は
QH
です。点
Q
の座標は実数
φ
を用いて、
と表されます。線分
PQ
の中点
M
の座標は、
として、
θ
,
φ
が全実数をとって動くときの点
M
の通過範囲が
K
なのですが、
2
つの変数
θ
,
φ
が動くのでは、考えにくいのです。このまま強行する方法も別解で後述しますが、ここでは図形的に考察します。
上記を見ると、点
M
は、平面
上で、点
を中心とする半径
R
の円周
上の点になっています。円周
の中心は
z
軸上の点
を中心とする半径
r
の円周
上にあります。つまり、
θ
,
φ
が全実数をとって動くとき、円周
は、その中心が
上を動きながら動くことになります。その通過範囲は右図の黄色着色部のようになります
(
平面
上なので、図の
x
軸、
y
軸は、それぞれ、実際の
x
軸、
y
軸をこの平面上まで
xy
平面と垂直な方向に平行移動させたものになります
)
。内側に、点
M
が通過しない部分ができることに注意してください。
通過範囲の外側の円周は、
z
軸上の点を中心とする半径
の円周です。
ここで、問題となることがあります。通過範囲の内側の円周を考えたいのですが、
R
と
r
の大小関係が分かりません。
とすると、
より、
このとき、右図のように、
z
軸に近いところに、
が通過しない部分ができます。この部分は、半径
の円です。
のときには、やはり
z
軸に近いところに、
が通過しない部分ができるのですが、この部分は、半径は
の円です。
どちらの場合も立体
K
を平面
で切ったときの断面の面積は、
の場合も含めて、
(
)
・・・@
となります。ですが、
K
の体積は、
ではありません。
t
は、点
P
の
z
座標であって、点
M
の
z
座標ではないからです。点
M
を通る平面で切った断面積が@なので、積分は点
M
の
z
座標について行う必要があります。
断面積@を
z
(
)
で表すと、@は、
となります。これを
の範囲で積分して、求める
K
の体積
V
は、
は、半径
1
の円の
から、底辺
,高さ
の三角形を除いたもので、
は、
とおくと、
,
z
:
のとき、
u
:
,
より、
∴
......[
答
]
別解.線分
PQ
の中点
M
の座標について、
・・・A
・・・B
のまま、計算だけで進めるとどうなるか、考えてみます。まず、A,Bから、
φ
を消去すると、
より、
,
,
として、
(
δ
は、
,
となる角
)
より、
∴
(
のとき
です
)
こうして、図形的考察と同じ結果が得られます。試験会場では、こうして腕尽くで計算で押しても充分に制限時間に入ると思います。
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