東大理系数学'22年前期[6]

(i)

はOにある。

(ii) nを1以上N以下の整数とする。

が定まったとし、

を次のように定める。

・n回目のコイン投げで表が出た場合、

により

を定める。ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

・n回目のコイン投げで裏が出た場合、

を

と定める。

(1)

とする。

がOにある確率を求めよ。

(2)

とする。

がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率を

とおく。ただし

である。

を求めよ。また

が最大となるrの値を求めよ。

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(

)，

(

)，

(

)　･･･②

(1) n回目までに裏が出た回数をk，また、lを適当な0以上の整数として、

である(modを使って書くと、

，剰余類を参照)間に出た表の回数をa (aは0以上の整数)，

である(

)間に表が出た回数をb (bは0以上の整数)，

である(

)間に表が出た回数をc (cは0以上の整数)とします。

は表が出た回数、

はコインを投げた回数になります。

例えば、

として、以下のように表裏が出たとします。各表・裏の下に書かれている数は、そこまでに出た裏の回数です。表が出たとき、裏の回数の下側に、その回数が3で割り切れる数のときに'a'，3で割ると1余るときに'b'，3で割ると2余るときに'c'と書いてあります。

裏	表	裏	裏	表	表	裏	表	裏	表	裏	表	裏	裏	表	裏	裏	表	裏
1	1	2	3	3	3	4	4	5	5	6	6	7	8	8	9	10	10	11
	b			a	a		b		c		a			c			b

19回目までで、裏の出た回数は

，'a'の個数は

，'b'の個数は

，'c'の個数は

です。

となっていますが、19回目のコイン投げで、②，③より、

となるためOに戻ってきません。

n回目のコイン投げで、②より、複素数平面上では、

に来ます。③より、

となるので、

でない限り、

とはなりません。つまり、n回目のコイン投げでOに戻ってくるとき、

となるためには、

であるときに表が出る回数aと、

であるときに表が出る回数bと、

であるときに表が出る回数cは等しくなります。･･･(＊)

8回コイン投げをすると、

通りの表裏の出方があります。

のときに、

がOにある、つまり、

となるのは、

であって、

となるときです。
こうなるのは、(i)

，

，または、(ii)

，

，または、(iii)

，

の場合に限られます。

(i)は、8回コイン投げをして全部裏が出るということで、その確率は

です(独立試行の確率を参照)。

(ii)は、8回コイン投げをして5回裏、3回表が出る、ということなのですが、その全ての表裏の出方で条件に適合する、ということではありません。

例えば、表表表裏裏裏裏裏と出てしまうと、裏0回のまま

と進んで以後5回の裏で動かず8回目にOに戻ってきません。
3回の表が、

となるときに1回表が出て、

のときに1回表が出て、

のときに表が1回出ることが条件です。
例えば、1回目に表が出ると、この時点で裏の回数は0 (

)なので、

進みます。2回目に裏が出て、3回目に表が出ると、この時点で裏の回数は1 (

)なので、

進み、

に来ます。4回目に裏が出て、5回目に表が出ると、この時点で裏の回数は2 (

)なので、

進んで、

に来るので、Oに戻ります。この後、6回目、7回目、8回目に裏が出ると、Oに居続けるので、8回目にOにいます。つまり、表裏表裏表裏裏裏と出るとOにいます。

1回目に表が出る(裏の回数0)場合に限らず、1進む表は、裏の回数が3回のとき、例えば、裏表裏表裏、と出てから表が出るときにも

進みます。この後、裏が続いて、裏表裏表裏表裏裏と出る場合も、8回目にOにいます。
つまり、「表裏表裏表裏裏裏」でも「裏表裏表裏表裏裏」でも、8回目にOにいます。「表裏表裏表裏裏裏」と「裏表裏表裏表裏裏」の3回の表のうち、ω進む表と

進む表を取り払ってみます。7回目と8回目の裏はOにいるままになるので、これも分けて考えると、1進む表の入り方は、「表裏裏裏裏裏」と「裏裏裏表裏裏」となり、最後の2回の裏も別にして、表と[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことがわかります。

ω進む表も同様に、裏の回数が1回のときと4回のときがある(④より、裏が7回ということはありません)のですが、「表裏表裏表裏裏裏」と「表裏裏表裏裏表裏」も、1進む表と

進む表を取り払うと、「裏表裏裏裏裏」と「裏裏裏裏表裏」も、両端の裏を別にして、表と[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことになります。

進む表も同様に、「裏裏表裏裏裏」と「裏裏裏裏裏表」で、最初の2回の裏を別にして、表と[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことになります。

こうして、表と裏の並べ方を、裏3回をまとめて[裏裏裏]として考え、裏の回数を3で割った3通りの余りの各々について、1進む表と[裏裏裏]の並べ方、ω進む表と[裏裏裏]の並べ方、