を
の確率で出るコインをN回投げて、座標平面上に点
，
，
，･･･，
を以下の規則(i)，(ii)に従って定める。
はOにある。
が定まったとし、
を次のように定める。
を定める。ただし、kは1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
を
と定める。
とする。
がOにある確率を求めよ。
とする。
がOにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率を
とおく。ただし
である。
を求めよ。また
が最大となるrの値を求めよ。
(
)となる場合に[裏裏裏]を1まとめにするカラクリだけ簡単に記述するようにしないと時間が足りなくなります。解いていてゾクゾクする問題だけに深みにはまってしまいそうですが、他の問題を優先する方が合格には近いと思います。
，
，
･･･① です。
に対応する複素数を
(
)，
に対応する複素数は1，
に対応する複素数は
(1の3乗根の1つです)，
に対応する複素数は、
です。
に対応する複素数は、
より、①に対応して、
(
)，
(
)，
(
) ･･･②
，
より、
･･･③
(k：n回目までに裏が出た回数)，裏が出ると、
，ということです。
である(modを使って書くと、
，剰余類を参照)間に出た表の回数をa (aは0以上の整数)，
である(
)間に表が出た回数をb (bは0以上の整数)，
である(
)間に表が出た回数をc (cは0以上の整数)とします。
は表が出た回数、
はコインを投げた回数になります。
として、以下のように表裏が出たとします。各表・裏の下に書かれている数は、そこまでに出た裏の回数です。表が出たとき、裏の回数の下側に、その回数が3で割り切れる数のときに'a'，3で割ると1余るときに'b'，3で割ると2余るときに'c'と書いてあります。| 裏 | 表 | 裏 | 裏 | 表 | 表 | 裏 | 表 | 裏 | 表 | 裏 | 表 | 裏 | 裏 | 表 | 裏 | 裏 | 表 | 裏 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 | 8 | 8 | 9 | 10 | 10 | 11 |
| b | a | a | b | c | a | c | b |
，'a'の個数は
，'b'の個数は
，'c'の個数は
です。
となっていますが、19回目のコイン投げで、②，③より、
に来ます。③より、
でない限り、
とはなりません。つまり、n回目のコイン投げでOに戻ってくるとき、
となるためには、
であるときに表が出る回数aと、
であるときに表が出る回数bと、
であるときに表が出る回数cは等しくなります。･･･(＊)
通りの表裏の出方があります。
のときに、
がOにある、つまり、
となるのは、
であって、
･･･④
，
，または、(ii) 
，
，または、(iii) 
，
の場合に限られます。
です(独立試行の確率を参照)。
と進んで以後5回の裏で動かず8回目にOに戻ってきません。
となるときに1回表が出て、
のときに1回表が出て、
のときに表が1回出ることが条件です。
)なので、
進みます。2回目に裏が出て、3回目に表が出ると、この時点で裏の回数は1 (
)なので、
進み、
に来ます。4回目に裏が出て、5回目に表が出ると、この時点で裏の回数は2 (
)なので、
進んで、
に来るので、Oに戻ります。この後、6回目、7回目、8回目に裏が出ると、Oに居続けるので、8回目にOにいます。つまり、表裏表裏表裏裏裏と出るとOにいます。
進みます。この後、裏が続いて、裏表裏表裏表裏裏と出る場合も、8回目にOにいます。
進む表を取り払ってみます。7回目と8回目の裏はOにいるままになるので、これも分けて考えると、1進む表の入り方は、「表裏裏裏 裏裏」と「裏裏裏表 裏裏」となり、最後の2回の裏も別にして、表と[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことがわかります。
進む表を取り払うと、「裏 表裏裏裏 裏」と「裏 裏裏裏表 裏」も、両端の裏を別にして、表と[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことになります。
進む表も同様に、「裏裏 表裏裏裏」と「裏裏 裏裏裏表」で、最初の2回の裏を別にして、表と[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことになります。
進む表と[裏裏裏]の並べ方を別々に数えることにより、Oに戻るコイン投げの場合の数を考えることができます。この3種の並べ方は、それぞれ独立で、表裏の出方全体の確率は、3種の並べ方の確率をかければよいことに注意してください(積事象・和事象・余事象を参照)。ここがこの問題のカラクリの肝(きも)です。
のときには、余り2の裏2回を、1進む表を考えるときには、1回目の表で1進むように、最後に[裏裏]でまとめ、ω進む表を考えるときには、最初に[裏]を1回(この後の表でω進みます)、最後に[裏]を1回と振り分け、
進む表を考えるときには最初に[裏裏](この後の表で
進みます)でまとめて考えます。 ･･･(＊＊)
進むとき(裏の回数を3で割ると余りは1)の表を
と書くことにすると、
[裏裏裏]
進むことはありません)こともあり得ます。
のいずれについても、[裏裏裏]を1まとめにして2通りずつあります。つまり、3回表が出てOに戻るのは、
通りあり、この確率は、
です。
移動する表も2回ずつ出る、ということですが、こうなるのは、1回目と2回目に表が出て、裏0回なので1ずつ2回進み、3回目に裏、4回目と5回目に表が出て、裏1回なので、ωずつ2回進み、6回目に裏が出て、7回目と8回目に表が出て、裏2回なので、
ずつ2回進み、
となってOに戻る場合だけです。その確率は、
です。
のとき、
がOにある確率は、
......[答]
通りあります。(1)と同様に、lを0以上の整数として、200回までに裏の出る回数kについて、
，
，
の間にそれぞれ表が出る回数をa，b，cとすると、
，
がOにあるためには、(1)(＊)より、
であって、表が出る回数は
(
)で、
でなければ、
がOにあることはなく、
なら
です。
のとき、裏が200回続いた、ということで、その確率は、
です。200を3で割ると2余るので、裏2回を、(1)(ii)(＊＊)と同様に最初と最後に振り分け、
(
)のとき、(1)(ii)で考えたように、裏3回を[裏裏裏]とまとめて考えます。
のとき、
より、
の前後で、やはり
通りあります。
進む(裏の回数を3で割ると余りは2)表が入るのは、
の前後で、やはり
通りあります。
のとき、
より、
の前後で、やはり
通りあります。
進む(裏の回数を3で割ると余りは2)表が入るのは、
の前後で、やはり
通りあります。
(
)のとき、
より、
の前後で、
カ所の
とaカ所の1進む表の並べ方は、合わせて66カ所のどのaカ所を表にするかと考えて、
通り(組み合わせを参照)あります([裏裏裏]と[裏裏裏]の間で1進む表が複数回続いてもよいことに注意)。
の前後で、やはり
通りあります。
進む(裏の回数を3で割ると余りは2)表がa個入るのは、
の前後で、やはり
通りあります。
も含め、
(
)のとき、
，
，
のとき、
......[答]
を最大とするrは、
より、
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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の前後で、66カ所の1つを選ぶと考え、
通り(
の前後で、64カ所の
と2カ所の1進む表の並べ方は、合わせて66カ所のどの2カ所を表にするかと考えて、
通り(