東大理系数学
'22
年前期
[2]
数列
を次のように定める。
,
(
)
(1)
正の整数
n
が
3
の倍数のとき、
は
5
の倍数となることを示せ。
(2)
k
,
n
を正の整数とする。
が
の倍数となるための必要十分条件を
k
,
n
を用いて表せ。
(3)
と
の最大公約数を求めよ。
解答
数列の最初の方を調べようとして、
,
,
,
,とやって行くと、
,
,と、凄まじいことになってしまいます。
(3)
で、
となると、桁数でさえ天文学的数値です。
5
が公約数だということはすぐわかりますが、「最大」であることを示すのに一苦労します。
(1)
は
5
の倍数です。
m
を自然数とします。
が
5
の倍数だとして、
(
l
:整数
)
とおくと、
とおくと、
よって、
も
5
の倍数です。
よって数学的帰納法により、全ての自然数
m
について、つまり,正の整数
n
が
3
の倍数であるとき、
は
5
の倍数です。
(2)
,
,
とおくと、
とおくと、
とやって行くと、
,
,・・・を整数として、
,
,
,
,・・・
となっていることがわかります。
を整数として、
と仮定して、
とすれば
は整数であって、
より、
よって、
j
を自然数として、
・・・@ となっていることが示されました。
@の
は
k
にも依存するので、
を改めて
と書き直すと、@は、
として、
・・・A
となります。
が
の倍数であるためには、Aより、
が
の倍数であることが必要です。
より、数列
は単調増加な数列で、
が
の倍数になる最小の自然数
j
は
です。このとき、
は
の倍数です。
同様に、Aより、
が
の倍数になるためには、例えば
であって、このとき、
は
の倍数です。
これを繰り返すと、
i
を自然数とし、
が
の倍数、と仮定して
(
l
:整数
)
とおくと、Aより、
が
の倍数であるためには、
が
の倍数であることが必要で、そうなる最小の自然数
j
は
です。このとき、
は
の倍数です。
よって、数学的帰納法により、全ての自然数
i
について、
は
の倍数です。つまり、
が
の倍数となるためには、
i
を自然数として、
となることが必要で、逆に、
のとき、
は
の倍数です。
以上より、
k
,
n
を正の整数として、
が
の倍数となる必要十分条件は、「
n
が
k
の倍数であること」
......[
答
]
(3)
は
5
の倍数ですが
25
の倍数ではありません。
(2)
Aにおいて
として、
・・・B
これより、
が
5
の倍数だが
25
の倍数ではないとすると、
も
5
の倍数であって
25
の倍数にはなりません。
従って、すべての
3
の倍数
n
について、
は
5
の倍数だが
25
の倍数ではありません。再びAを用いて、
Bで
として、
とおくと、
j
が
3
の倍数のとき、
は
5
の倍数であって
25
の倍数ではないので、
l
を
5
の倍数でない整数として、
とおくと、
これを
5
で割ると、商は、
です。
を
5
で割ると、商は
l
です。
も
もともに
5
で割り切れます。
で、
l
が
5
よりも大きな整数だとして、
を
l
で割ると
5
余り、割り切れることはありません。つまり、
と
は
5
よりも大きな公約数を持ちません。
として、
と
の最大公約数は、
5 ......[
答
]
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