，
(
)
を次のように定める。， ()
は5の倍数となることを示せ。
が
の倍数となるための必要十分条件をk，nを用いて表せ。
と
の最大公約数を求めよ。
，
，
，
，とやって行くと、
，
，と、凄まじいことになってしまいます。(3)で、
となると、桁数でさえ天文学的数値です。5が公約数だということはすぐわかりますが、「最大」であることを示すのに一苦労します。
は5の倍数です。
が5の倍数だとして、
(l：整数)とおくと、
とおくと、
も5の倍数です。
は5の倍数です。
，
，
とおくと、
とおくと、
，
，･･･を整数として、
，
，
，
，･･･
を整数として、
と仮定して、
とすれば
は整数であって、
より、
･･･① となっていることが示されました。
はkにも依存するので、
を改めて
と書き直すと、①は、
として、
･･･②
が
の倍数であるためには、②より、
が
の倍数であることが必要です。
より、数列
は単調増加な数列で、
が
の倍数になる最小の自然数jは
です。このとき、
は
の倍数です。
が
の倍数になるためには、例えば
であって、このとき、
は
の倍数です。
が
の倍数、と仮定して
(l：整数)とおくと、②より、
が
の倍数であるためには、
が
の倍数であることが必要で、そうなる最小の自然数jは
です。このとき、
は
の倍数です。
は
の倍数です。つまり、
が
の倍数となるためには、iを自然数として、
となることが必要で、逆に、
のとき、
は
の倍数です。
が
の倍数となる必要十分条件は、「nがkの倍数であること」 ......[答]
は5の倍数ですが25の倍数ではありません。
として、
･･･③
が5の倍数だが25の倍数ではないとすると、
も5の倍数であって25の倍数にはなりません。
は5の倍数だが25の倍数ではありません。再び②を用いて、
として、
とおくと、
は5の倍数であって25の倍数ではないので、lを5の倍数でない整数として、
とおくと、
です。
を5で割ると、商はlです。
も
もともに5で割り切れます。
で、lが5よりも大きな整数だとして、
と
は5よりも大きな公約数を持ちません。
として、
と
の最大公約数は、5 ......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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