東大理系数学'22年前期[2]

数列を次のように定める。
()
(1) 正の整数n3の倍数のとき、5の倍数となることを示せ。
(2) knを正の整数とする。の倍数となるための必要十分条件をknを用いて表せ。
(3) の最大公約数を求めよ。

解答数列の最初の方を調べようとして、,とやって行くと、,と、凄まじいことになってしまいます。(3)で、となると、桁数でさえ天文学的数値です。5が公約数だということはすぐわかりますが、「最大」であることを示すのに一苦労します。

(1) 5の倍数です。
mを自然数とします。5の倍数だとして、 (l:整数)とおくと、

とおくと、
よって、5の倍数です。
よって数学的帰納法により、全ての自然数
mについて、つまり,正の整数n3の倍数であるとき、5の倍数です。

(2)
とおくと、
とおくと、
とやって行くと、,・・・を整数として、
,・・・
となっていることがわかります。
を整数として、と仮定して、
とすればは整数であって、より、
よって、jを自然数として、 ・・・@ となっていることが示されました。
@の
kにも依存するので、を改めてと書き直すと、@は、
として、 ・・・A
となります。
の倍数であるためには、Aより、の倍数であることが必要です。より、数列は単調増加な数列で、の倍数になる最小の自然数
jです。このとき、の倍数です。
同様に、Aより、の倍数になるためには、例えばであって、このとき、の倍数です。
これを繰り返すと、
iを自然数とし、の倍数、と仮定して (l:整数)とおくと、Aより、の倍数であるためには、の倍数であることが必要で、そうなる最小の自然数jです。このとき、の倍数です。
よって、数学的帰納法により、全ての自然数
iについて、の倍数です。つまり、の倍数となるためには、iを自然数として、となることが必要で、逆に、のとき、の倍数です。
以上より、
knを正の整数として、の倍数となる必要十分条件は、「nkの倍数であること」 ......[]

(3) 5の倍数ですが25の倍数ではありません。
(2)Aにおいてとして、 ・・・B
これより、
5の倍数だが25の倍数ではないとすると、5の倍数であって25の倍数にはなりません。
従って、すべての
3の倍数nについて、5の倍数だが25の倍数ではありません。再びAを用いて、

Bでとして、
とおくと、
j3の倍数のとき、5の倍数であって25の倍数ではないので、l5の倍数でない整数として、とおくと、
これを5で割ると、商は、です。
5で割ると、商はlです。もともに5で割り切れます。
で、
l5よりも大きな整数だとして、
lで割ると5余り、割り切れることはありません。つまり、5よりも大きな公約数を持ちません。として、の最大公約数は、5 ......[]



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