東大理系数学'22年前期[2]

数列を次のように定める。
()
(1) 正の整数n3の倍数のとき、5の倍数となることを示せ。
(2) knを正の整数とする。の倍数となるための必要十分条件をknを用いて表せ。
(3) の最大公約数を求めよ。

解答数列の最初の方を調べようとして、,とやって行くと、,と、凄まじいことになってしまいます。(3)で、となると、桁数でさえ天文学的数値です。(3)は、22151最大公約数を求めよ、と言われたときに、221÷514あまり17となるところから5117の最大公約数を考えるのと同じようにします。

(1) 5の倍数です。
mを自然数とします。5の倍数だとして、 (l:整数)とおくと、

とおくと、
よって、5の倍数です。
よって
数学的帰納法により、全ての自然数mについて、つまり,正の整数n3の倍数であるとき、5の倍数です。
別解.
mod記号(剰余類を参照)を用いて答案を書くと以下のように簡潔に書くことができます。
mを自然数として、 (mod. 5)を示す。
のとき、より成り立つ。
のとき、
(mod. 5)を仮定すると、
(mod. 5)
(mod. 5)
(mod. 5)

よって、 (mod. 5)となり、のときも成り立つ。
数学的帰納法により、mを自然数として、 (mod. 5)が成り立つ。
即ち、正の整数
n3の倍数のとき、5の倍数となる。

(2) kを自然数として、
(l:整数)とおくと、
(j:整数)とおくと、
とやって行くと、,・・・なので、(),・・・を整数として、
,・・・
となっていることがわかります。
そこで、
kを自然数、を整数として、を示します。
のときは、より、として、
を整数として、と仮定すると、
 ・・・@ とすればは整数であって、より、
と書けます。よって、jを自然数として、 ・・・A と書けることが示されました。
@のは自然数
kにも依存するので、を改めてと書き直すと、@をと書き直して、Aは、 ・・・B
となります。
の倍数であるためには、Bよりの倍数であることが必要です。より、数列は単調増加な数列で、のとき
(このとき、kの倍数でなく、の倍数になりません)のときのときより、の倍数となる最小の自然数jkです。
のとき、は、Bより、となり、の倍数です。ここでは整数で、となります
(よりとします。です)
同様にBより、 ・・・C がの倍数であるためには、の倍数であることが必要で、こうなる最小の自然数
jです。のとき、は、Cより、
は、の倍数です。ここでは整数で、となります。
これを繰り返すと、
iを自然数とし、 (は整数、)とおけると仮定すると、Bより、
 ・・・D
の倍数であるためには、の倍数であることが必要で、こうなる最小の自然数jであり、の場合にはkの倍数でなく、の倍数ではありません。のとき、は、Dより、
 (は整数です)
は、の倍数です。
よって、
数学的帰納法により、全ての自然数iについて、の倍数、つまり、の倍数となるためには、iを自然数として、となることが必要で、nkの倍数でないときはの倍数ではありません。逆に、のとき、の倍数です。
以上より、
knを正の整数として、の倍数となる必要十分条件は、「nkの倍数であること」 ......[]
別解.(2)も上記のはじめの方の考察でBが見えてくるので、Bを、で割ると余ると見て、mod記号(剰余類を参照)を使って、
(mod. ) ()
を示すという方針も立ちます。
より、のとき、
(mod. )
(mod. )
を仮定して、より、 (mod. )
となるので、()が成り立ちます。
()より、で割り切れるのは、 (mod. )よりのときで、このとき、 (mod. ),同様に、,・・・,これより、nkの倍数のとき、 (mod. )が言えます。また、上記と同様に、 (mod. k)以外の場合には (mod. )とはならないことを言う必要があります。

(3) 3の倍数です。また、です。(2)より、の倍数となる必要十分条件はn3の倍数であることです。また、5の倍数ですが25の倍数ではありません。そこで、j3の倍数として、を調べることになります。
(2)Bにおいて、k3の倍数、として、 ・・・E
これより、
5の倍数ですが25の倍数ではなく、5の倍数だが25の倍数ではないと仮定すると、25の倍数ですが、5の倍数だが25の倍数にはなりません。
従って、すべての
3の倍数nについて、5の倍数だが25の倍数ではありません。・・・(**)
j
3の倍数として、再びBを用いて、

Eでとして、
とおくと、
つまり、で割ると25余るのですが、これは、の最大公約数が、25の最大公約数に一致することを意味します(Euclidの互除法を参照)(**)より、j3の倍数のとき、5の倍数だが25の倍数ではないので、25の最大公約数は5,即ち、の最大公約数も5です。
として、の最大公約数は、
5 ......[]



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