東大理系数学'23年前期[2]

東大理系数学'23年前期[2]

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

(1) どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。

(2) どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率qを求めよ。

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解答　うまい考え方があるんでしょうか？ここでは、逐一の場合を数えてしまうことにします。

(1) 黒玉3個、赤玉4個、白玉5個の並べ方は、

通り　(同じものを含む順列を参照)

あり、各一通りは同様に確からしい。赤玉が隣り合わない並べ方は、黒白合わせて8個を並べてできる間と両脇、

｜○｜●｜○｜○｜●｜○｜●｜○｜

9カ所('｜'の位置)のどの4カ所に赤玉を入れるかが、

通り

黒白合わせて8個のうちどの3個を黒玉にするかが、

通り

よって、赤玉が隣り合わない並べ方は、

通りあり、求める確率pは、

......[答]

(2) (1)で見たように、赤玉が隣り合わない並べ方は、

通りあり、その各1通りは同様に確からしい。白黒合わせて8個をまず並べ、それを以下のように、3通りに分けて考えます。

(i) 黒が隣り合わない場合

○●○○●○●○

のようになっていて、黒白8個を並べる時点で黒が隣り合わない並べ方は、白玉5個を並べてできる間と両脇、

｜○｜○｜○｜○｜○｜

6カ所('｜'の位置)のうちどの3カ所を黒玉にするかが、

通り

このときの赤玉の入れ方は、(1)と同じく

通りあります。

(ii) 黒2個が隣り合う場合

○○●●○○●○

のようになっていて、黒白8個を並べる時点で黒2個が隣り合い、残り1個が隣り合わない並べ方は、黒2個を1くくりにして、白玉5個を並べてできる間と両脇6カ所のうちどの2カ所を黒にするかが、黒2個1くくりと黒1個の入れ替えも考えて、

通り

このときは、●●●のように、赤玉1個を黒玉2個1くくりの間に入れることになり、黒赤黒●●●1くくりと残りの黒白6個、合わせて7個を並べてできる間と両脇、

｜○｜○｜●●●｜○｜○｜●｜○｜

8カ所('｜'の位置)のうちどの3カ所に、残りの赤玉3個を入れるかが、

通り

(iii) 黒3個が隣り合う場合

○○○●●●○○

のようになっていて、黒白8個を並べる時点で黒玉3個が隣り合う場合、黒3個を1くくりにして、白玉5個を並べてできる間と両脇6カ所のうちどの1カ所を黒玉3個1くくりにするかが6通り。このときは、●●●●●のように、黒玉と黒玉の間に赤玉を2個入れて、黒赤黒赤黒●●●●●を1くくりにして白5個と合わせて6個を並べてできる間と両脇、

｜○｜○｜○｜●●●●●｜○｜○｜

7カ所('｜'の位置)のうちどの2カ所に残りの赤玉2個を入れるかが、