東大理系数学'23年前期[2]

東大理系数学'23年前期[2]

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

(1) どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。

(2) どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率qを求めよ。

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解答　うまい考え方があるんでしょうか？ここでは、逐一の場合を数えてしまうことにします。

(1) 黒玉3個、赤玉4個、白玉5個の並べ方は、

通り

あり、各一通りは同様に確からしい。赤玉が隣り合わない並べ方は、黒白8個を並べてできる間と両脇、

｜○｜●｜○｜○｜●｜○｜●｜○｜

9カ所('｜'の位置)のどの4カ所に赤玉を入れるかが、

通り

黒白合わせて8個のうちどの3個を黒玉にするかが、

通り

求める確率pは、

......[答]

(2) (1)で見たように、赤玉が隣り合わない並べ方は、

通りあります。

○●○○●○●○

のようになっていて、黒白8個を並べる時点で黒が隣り合わない並べ方は、白玉5個を並べてできる間と両脇、

｜○｜○｜○｜○｜○｜

6カ所('｜'の位置)のうちどの3カ所を黒玉にするかが、

通り

このときの赤玉の入れ方は、(1)と同じく

通りあります。

○○●●○○●○

のようになっていて、黒白8個を並べる時点で黒2個が隣り合い、残り1個が隣り合わない並べ方は、黒2個を1くくりにして、白玉5個を並べてできる間と両脇6カ所のうちどの2カ所を黒にするかが、黒2個1くくりと黒1個の入れ替えも考えて、

通り

このときは、●●●のように、赤玉1個を黒玉2個1くくりの間に入れることになり、黒赤黒1くくりと残りの黒白6個、合わせて7個でできる間と両脇、

｜○｜○｜●●●｜○｜○｜●｜○｜

8カ所('｜'の位置)のうちどの3カ所に赤玉を入れるかが、

通り

○○○●●●○○

のようになっていて、黒白8個を並べる時点で黒玉3個が隣り合う場合、黒3個を1くくりにして、白玉5個を並べて着る間と両脇6カ所のうちどの1カ所を黒にするかが6通り。このときは、●●●●●のように、黒玉と黒玉の間に赤玉を2個入れて、黒赤黒赤黒を1くくりにして白5個と合わせて6個を並べてできる間と両脇、

｜○｜○｜○｜●●●●●｜○｜○｜

7カ所('｜'の位置)のうちどの2カ所に残りの赤玉2個を入れるかが、

通り。

求める条件付確率qは、

......[答]

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