東大理系数学'25年前期[4]
この問いでは、0以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。aを正の整数とし、とおく。

(1) nを正の整数とする。が平方数ならば、であることを示せ。

(2) が平方数となる正の整数nの個数をとおく。次の条件(i)，(ii)が同値であることを示せ。
(i) である。
(ii) は素数である。


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解答　とっつきにくい整数の問題ですが、より、として、をネタにした問題です。以下の解答はここから発想しています。

(1) mを0以上の整数として、　･･･①
となったとします。
と仮定すると、
　(nは正の整数)
これはに矛盾するので、です。　･･･②
①より、　∴

(2) は、のときとなり平方数になるので、です。というのは、が整数となる正の整数nが以外に存在しない、ということです。　･･･(＊)
またとなる場合、例えば、の場合を調べてみます。
このとき、
は素数ではありません。
そこで、(i)を否定するととなるので、
であって、②と(＊)を考慮し、mを0以上かつnよりも小さい整数として、が平方数になったと仮定すると、



　･･･③
であれば、，はそれぞれ2以上の整数であって、は素数ではありません。
これで、 ⇒ が言えました。

が素数でないと仮定します。先の過程を逆にたどります。
aが正整数なので、は5以上の奇数です。は、1よりも大きい2つの奇数p，q (，とします)の積の形
　･･･④
に表されます。p，qを0以上の整数k，lを用いて、
，　･･･⑤
とおきます。
は4で割ると1余る整数です。右辺が4で割って1余る数になるのは、が偶数になる場合です。が奇数のときには4で割ると3余ります(剰余類を参照)。
が偶数になるとき、k，lの偶奇が一致し、⑤より、は4の倍数(よりは0以上)になります。そこでjを0以上の整数として、，とおくことができて、③を参照し、
，　･･･⑥
とおけたとすると、両式の和と差をとることにより、
，
よって、
，
ここに、mは0以上の整数であり、は2以上の偶数なのでnも整数であって、です。このとき、④，⑥より、


より、であり、
となり、であって、となる平方数が存在します。つまり、です。
これで、 ⇒ が示せました。
⇔ が示せたので、(i) ⇔ (ii)が示せました。



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