東京大学理系2025年前期数学入試問題
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[1] 座標平面上の点A
，B
，C
，D
を考える。実数
に対して、線分AB，BC，CDをt：
に内分する点をそれぞれ
，
，
とし、線分
，
をt：
に内分する点をそれぞれ
，
とする。さらに、線分
をt：
に内分する点を
とする。また、点Aを
，点Dを
とする。
(1) 点
の座標を求めよ。
(2) t が
の範囲を動くときに点
が描く曲線と、線分ADで囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) aを
を満たす実数とする。t が
の範囲を動くときに点
が描く曲線の長さを、aの多項式の形で求めよ。 [解答へ]
[2](1) 
のとき、不等式
を示せ。
(2) 次の極限を求めよ。
[解答へ]
[3] 平行四辺形ABCDにおいて、
，
，
，
とする。次の条件を満たす長方形EFGHを考え、その面積をSとする。
条件：点A，B，C，Dはそれぞれ辺EF，FG，GH，HE上にある。ただし、辺はその両端の点も含むものとする。
(1) 
とするとき、Sをa，b，θを用いて表せ。
(2) Sのとりうる値の最大値をa，bを用いて表せ。
[解答へ]
[4] この問いでは、0以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。aを正の整数とし、
とおく。
(1) nを正の整数とする。
が平方数ならば、
であることを示せ。
(2) 
が平方数となる正の整数nの個数を
とおく。次の条件(i)，(ii)が同値であることを示せ。 (i) 
である。 (ii) 
は素数である。 [解答へ]
[5] nを2以上の整数とする。1からnまでの数字が書かれた札が各1枚ずつ合計n枚あり、横一列におかれている。1以上
以下の整数i に対して、次の操作(
)を考える。
(
) 左からi 番目の札の数字が、左から
番目の札の数字よりも大きければ、これら2枚の札の位置を入れかえる。そうでなければ、札の位置を変えない。 最初の位置において札は左から
，
，･･･，
であったとする。この状態から
回の操作
，
，･･･，
を順に行った後、続けて
回の操作
，･･･，
，
を順に行ったところ、札の数字は左から1，2，･･･，nと小さい順に並んだ。以下の問いに答えよ。
(1) 
と
のうち少なくとも一方は2以下であることを示せ。
(2) 最初の状態としてありうる札の数字の並び方
，
，･･･，
の総数を
とする。nが4以上の整数であるとき、
を
と
を用いて表せ。 [解答へ]
[6] 複素数平面上の点
を中心とする半径
の円の周から原点を除いた曲線をCとする。
(1) 曲線C上の複素数zに対し、
の実部は1であることを示せ。
(2) α，βを曲線C上の相異なる複素数とするとき、
がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
(3) γを(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、
の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。 [解答へ]
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