東大理系数学'25年前期[6]
複素数平面上の点
を中心とする半径
の円の周から原点を除いた曲線をCとする。
(1) 曲線C上の複素数zに対し、
の実部は1であることを示せ。
(2) α，βを曲線C上の相異なる複素数とするとき、
がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
(3) γを(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、
の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。
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解答 複素数平面の問題では、普通は、複素数の形のまま、絶対値や偏角を考える方が計算がラクなことが多いのですが、本問では「実部」という言葉が出てくるので、
としてx，yを考える方がラクだと思います。(2)は東大で頻出の2変数関数になりますが、一方を固定して他方を動かす、として処理するのが常套手段です。ここではy座標を固定してxの範囲を考えます。なお、複素数の図形的応用を参照してください。
曲線C上の点Pを表す複素数を
(x，yは実数，
)とすると、
(
) ･･･①
(1) 
とおくと、
①に代入して、
より、 
をかけて、よって、ωの実部は、
別解．①より、
(
) ･･･② 
(∵ ③)
これより、
の実部は1です。
(2) (1)別解によると、
の虚部
は、原点と円②上の点
を結ぶ直線の傾きの符号を変えたものなので、明らかに全実数を取り得ます。そこで、t を任意の実数として、
とおくことができます。 
･･･④④より、円C上の点を表す複素数をαとして、
･･･⑤とおくことができます。αと異なる、円C上の点を表す複素数をβ，sを
となる任意の実数として、⑤と同様に、 
･･･⑥とおくことができます。⑤＋⑥より、
ここで、新たに、
の実部をx，虚部をyと表すと、 
，
両式よりsを消去すると、
より、 ここで、yを固定して考え、xを任意の実数tの関数と考えます。但し、
より、
です。 
t が
を満たす実数をとるとき、xは、
を満たします(2次関数の最大最小を参照)。
が
のとりうる範囲を与えます。放物線
の左側の部分です。図示すると右図黄緑色着色部(境界線上を含まない)。
(3) (2)で求めた範囲に属さない複素数をγとするので、
(x，yは実数)とすると、x，yは、
を満たします。この領域Dは、放物線
から右側の領域です。 
の実部は
です。
領域D：
内の各点について
の値を計算するのでは大変なので、要領よく処理することを考えます。
は
のときは正、
のときは負の値をとります。最大値をとるとすれば正の値、最小値をとるとすれば負の値です。つまり、
の絶対値はある限られた範囲の値をとるのだろう、と推察できます。とすると、分母の
に着目できます。
が小さくなれば
の絶対値は大きくなります。D：
を変形すると、
となりますが、
においては
，
においては
です。
つまり、
は、
においては
のときに最大値、最小値をとり、
においては
のときに最大値・最小値をとります。
のとき、
分母を払って、
，
･･･⑧
のときに
となりますが、
のとき、xの2次方程式⑧は、
の範囲に実数解を持ちます。⑧の左辺を
とおくと、その条件(2次方程式の一般論を参照)は、 判別式
･･･⑧
軸：
･･･⑨
かつ
･･･⑩
かつ
･･･⑪ として、「⑧かつ⑨」または⑩または⑪です。
⑧より、
⑨より、
，
⑩より、
，
⑪より、
かつ
，これを満たすkはありません。
よって、
または
または
･･･⑫ ⑦：
(
)，⑫：
(
)より、
の最大値は
，最小値は
......[答]
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のとき
として、
より、
･･･⑦
