東大理系数学'25年前期[3]
平行四辺形ABCDにおいて、
，
，
，
とする。次の条件を満たす長方形EFGHを考え、その面積をSとする。
条件：点A，B，C，Dはそれぞれ辺EF，FG，GH，HE上にある。ただし、辺はその両端の点も含むものとする。
(1) 
とするとき、Sをa，b，θを用いて表せ。
(2) Sのとりうる値の最大値をa，bを用いて表せ。
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解答 合成すればすぐに最大値を求められそうですが、正弦の値が1になり得るかどうか、ということが本問では簡単な話ではありません。また、以下の解答ではa，bの2変数関数が出てきます。東大では、2変数関数は頻出テーマです。2変数のうち片方を固定しておいて、他方を動かして最大最小を考え、さらに固定しておいた方を動かす、という解法をとることが多いのですが、以下では、a，bの同次式(aについてもbについても2次式)では
などとおくとt の1変数関数として扱える、という技巧を用いて解答しています。
右図より、
，
，
，
，
よって、
，
(1) 
(2) 
(三角関数の合成を参照)
より、
･･･①ここにδ は、以下を満たす角。
，
･･･②ここで、問題文の条件より、
，
，つまり、
･･･③
②より、
･･･④
ですが、
･･･⑤
とおくと、
であって、
より
です。 ここで、
･･･⑥
とおくと、 より、
は、
においてt の単調減少関数で、
，
より
，つまり
∴ 
･･･⑦
③より
，
･･･⑧
①を見ると、
，つまり、
のときに最大になりそうなのですが、δが小さいときに、
になったとしても、
が
よりも小さく、③の範囲のすべてのθについて、
となることがあり得ます。⑧の範囲の中に
が含まれるのですが、⑧は、
になる場合が必ずある、と言っているわけではありません。
のとき、θが③を満たすどんな値をとっても、
です。そこで⑦を、
のときと、
のときに分けて考えます。 ⑤より、
，つまり、
･･･⑨
このときは、
であり、④よりa，bが与えらればδは定数であり、このとき①はθの増加関数なので、
のときS最大となります。(1)の結果で
として、 
･･･⑩このときは、
，
のとき、
，即ち
となり得ます。よって、
のときS最大となります。①で
として、 
･･･⑫⑨，⑩，⑪，⑫より、Sのとりうる値の最大値は、
・
のとき
・
のとき
......[答]
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......[答]
のとき、
(
は単調減少です)より、
∴ 
のとき、
，
･･･⑪