東大理系数学'25年前期[1]
座標平面上の点A
，B
，C
，D
を考える。実数
に対して、線分AB，BC，CDをt：
に内分する点をそれぞれ
，
，
とし、線分
，
をt：
に内分する点をそれぞれ
，
とする。さらに、線分
をt：
に内分する点を
とする。また、点Aを
，点Dを
とする。
(1) 点
の座標を求めよ。
(2) t が
の範囲を動くときに点
が描く曲線と、線分ADで囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) aを
を満たす実数とする。t が
の範囲を動くときに点
が描く曲線の長さを、aの多項式の形で求めよ。
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解答 以下の解答はややまぐれという感じがします。何か、理論的背景があるのでしょうか？
よって、点
の座標は、
......[答]
(2) 点
が描く曲線は、t (
)を媒介変数として、 
，
･･･①として表されます
点
が描く曲線と線分ADで囲まれた部分面積Sは、
(3) t が
の範囲を動くときに点
が描く曲線の長さLは、 ①を微分して、
，
よって、
より、 
......[答]
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......[答]
とおいて
，
のとき
より、