早大理工数学'06年[2]
に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式
の正の実数解はただ1つであることを示せ。 (2) tが
の解であるとき、
を求めよ。 (3) 
の正の実数解を
とするとき、
の最小の実数解
を
で表せ。さらに、
を求めよ。
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解答 3次方程式を微分をからめて考えようという問題です。微分法の方程式への応用を参照してください。
正の方をα，負の方をβ とすると、
において
は極小、
において
は極大(3次関数の増減を参照)。
において
は単調減少で、
より、この範囲において、
において
は単調増加で、
，
より、
は、
にただ1つの解をもちます。
以上より、3次方程式
の正の実数解はただ1つです。
(2) うまく計算できないか考えあぐねている間に、どんどん計算してしまう方が早いと思います。
であれば、
のtを
に置き換えた
もまた
の解です。
だとすると、 
，
また、
より、
従って、
の正の実数解を
とすると、
の最小の実数解
は、 
......[答]
とすると、
の極大値を与える
より、
従って、
......[答]
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，
とすると、
......[答]
の解ならば、
も
の解です。