早稲田大学理工学部2006年数学入試問題
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[1] 
に対して、関数
を
，
(1) 
にたいして を示せ。
(2) 
とする。
に対して、不等式 を示せ。
(3) 
を求めよ。 [解答へ]
[2] 
に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式
の正の実数解はただ1つであることを示せ。 (2) tが
の解であるとき、
を求めよ。 (3) 
の正の実数解を
とするとき、
の最小の実数解
を
で表せ。さらに、
を求めよ。 [解答へ]
[3] 数列
，
，
，･･･ は条件
を満たすとする。以下の問に答えよ。
(2) 
を満たすnがあることを示せ。 [解答へ]
[4] xy平面において原点Oから出発する動点Pが確率p (
)でx軸の正方向と
の角度をなす方向に、確率
でx軸の正方向と
の角度をなす方向に進み、どちらの場合もOからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をAとする。さらに動点Pについて以下の2通りの移動(イ)，(ロ)を考える。
(イ) 動点Pが点Aから出発し確率pでx軸の正方向と
の角度をなす方向に、確率
でx軸の正方向と
の角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をBとする。 (ロ) 動点Pが点Aから出発し確率pで
と
の角度をなす方向に、確率
で
と
の角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をCとする。 以下の問に答えよ。
(1) 線分OBの長さの2乗の期待値
を求めよ。 (2) 線分OCの長さの2乗の期待値
を求めよ。 (3) 
の最大値を求めよ。 [解答へ]
[5] 動点Pはx軸の
の部分、動点Qはy軸の
の部分を
を満たしながら動く。このとき線分PQが動いてできる領域をFとする。またOは原点とし、
をαとする。
を満たすsを固定したとき、点
がFに属するようなyの最大値をtとし、線分PQが点
を通るときのαの値をθ とする。以下の問に答えよ。
(1) 
が成り立つsの範囲を求めよ。 (2) sが(1)で求めた範囲に属さないときs，tをθ で表せ。
(3) Fの面積を求めよ。
[解答へ]
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，･･･ を次の式で定める。
，
，
がすべて正ならば
が成り立つことを示せ。