早大理工数学'06年[4]
xy平面において原点Oから出発する動点Pが確率p ()でx軸の正方向との角度をなす方向に、確率でx軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もOからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をAとする。さらに動点Pについて以下の2通りの移動(イ)，(ロ)を考える。
(イ)　動点Pが点Aから出発し確率pでx軸の正方向との角度をなす方向に、確率でx軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をBとする。
(ロ)　動点Pが点Aから出発し確率pでとの角度をなす方向に、確率でとの角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をCとする。
以下の問に答えよ。
(1) 線分OBの長さの2乗の期待値を求めよ。
(2) 線分OCの長さの2乗の期待値を求めよ。
(3) の最大値を求めよ。


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解答　OからAまで確率pで、に来ます。
確率で、に来ます。

(1) AからBまでの変位は、確率pで、
確率で、

OからBまでは、確率で、となる点に来ます(積事象・和事象・余事象を参照)。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
の期待値は、より、

.......[答]

(2) OからCまでは、確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。


......[答]

(3)
とおきます。


よって、は、，に各1個ずつの解をもっています。

以上より、の最大値は、 ......[答]　(2次関数の最大・最小を参照)


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