早大理工数学'06年[4]
xy平面において原点Oから出発する動点Pが確率p (
)でx軸の正方向と
の角度をなす方向に、確率
でx軸の正方向と
の角度をなす方向に進み、どちらの場合もOからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をAとする。さらに動点Pについて以下の2通りの移動(イ)，(ロ)を考える。
(イ) 動点Pが点Aから出発し確率pでx軸の正方向と
の角度をなす方向に、確率
でx軸の正方向と
の角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をBとする。 (ロ) 動点Pが点Aから出発し確率pで
と
の角度をなす方向に、確率
で
と
の角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をCとする。 以下の問に答えよ。
(1) 線分OBの長さの2乗の期待値
を求めよ。 (2) 線分OCの長さの2乗の期待値
を求めよ。 (3) 
の最大値を求めよ。
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解答 OからAまで確率pで、
に来ます。
確率
で、
に来ます。
(1) AからBまでの変位
は、確率pで、
確率
で、
OからBまでは、確率
で、
となる点
に来ます(積事象・和事象・余事象を参照)。
確率
で、
となる点
に来ます。
確率
で、
となる点
に来ます。
確率
で、
となる点
に来ます。
の期待値は、
より、 
.......[答]
(2) OからCまでは、確率
で、
となる点
に来ます。 確率
で、
となる点
に来ます。
確率
で、
となる点
に来ます。
確率
で、
となる点
に来ます。 
(3) 
とおきます。
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お送りください。 
......[答]
は、
，
に各1個ずつの解をもっています。
の最大値は、