早大理工数学'06年[5]
動点Pはx軸の
の部分、動点Qはy軸の
の部分を
を満たしながら動く。このとき線分PQが動いてできる領域をFとする。またOは原点とし、
をαとする。
を満たすsを固定したとき、点
がFに属するようなyの最大値をtとし、線分PQが点
を通るときのαの値をθ とする。以下の問に答えよ。
(1) 
が成り立つsの範囲を求めよ。 (2) sが(1)で求めた範囲に属さないときs，tをθ で表せ。
(3) Fの面積を求めよ。
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解答 アステロイドになるのだろうということは予測がつきますが、問題文をぱっと見ただけでは、(1)が何を要求しているのかが読み取れないかも知れません。いきなり(1)を解答しようというのでなく、外堀を埋めることから始めます。
直線PQの傾き(負です)の絶対値が最も大きくなるのは、P
，Q
のときです。このとき、
です。
題意を満たすように線分PQが動くとき、αは、
の範囲を動きます。
であれば、
，
なので、直線PQの方程式は、
･･･①
のときには、P
，Q
であって、直線PQの方程式は、
また、このとき、直線PQ上の点で、
(
)に対応する点のy座標は、
です。
のとき、③で
とおくと、
これより、直線PQ上での点で、
(
)に対応する点のy座標は、
･･･②
のとき直線PQ：
，つまり
に対応するy座標も
ですが、②はこれを含んでいます。
において②の最大値を考えます。
とすると、
の範囲において、
･･･③
このとき、
なので、
，つまり、
･･･④
sが
の範囲にあれば、③を満たすαが存在して、このαを
とすると、
においては、
，
においては、
となるので、
のとき、つまり③が成り立つときに、yは最大値をとります(関数の増減を参照)。 ･･･⑤
このとき、
なので、
であって、
にはなり得ないことに注意してください。
③で
とすると、
で、
です。このとき、
で、直線PQの方程式①は、
となります。
のとき、yの最大値は、直線の方程式から、
となります。
は直線上の点なので、このときのαをθ とすれば、
です。 ･･･⑥
③で
とすると、
で、
であって、
にはなりません。
これを見ると、
になるのは、
だけで、sの範囲なんて出てこない、と、思うかも知れませんが、ここで、「動点Pはx軸の
の部分」を動く(
の部分には行かない)、という問題文の条件にピンと来ないといけません。
なので、
の場合が残っています。
(1) 上記で、④が満たされないとき、つまり、
のとき、③を満たすαは存在せず、
において、
よりyはαの増加関数で、yは
のときに最大値tをとります。
は直線PQ：
上の点なので、このときのαをθ とすると、
となります。 上記の⑥も含めて、
が成り立つsの範囲は、
......[答]注．遠回りなことをやらせる誘導がついていますが、要するに、この問題では、右図のように、領域Fの
の部分の上側の境界線(各xに対してyが最大となる点の集合)が、直線：
になるということを言っています。
(2) 
のとき、上記の④より、yの最大値tは、②，③，
より、 
･･･⑦yが最大値tをとるとき、
は直線PQ上の点で、このとき、
なので、③より、 
(
のときにも成り立ちます)
のとき、⑦より、
のとき、明らかに、領域Fには、
となる点は
しかなく、
ですが、これも含めて、
(3) 領域Fのうち、
の部分は、下底
，上底
，高さ
の台形で、その面積は、 
の部分は、曲線：
，
とx軸の間に挟まれた部分で、その面積は、
と置換すると、
より、
，x：
のとき、θ ：
(置換積分を参照)求める面積は、
......[答]
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