早大理工数学'06年[1]
に対して、関数を
，
によって定める。以下の問に答えよ。
(1) にたいして
を示せ。
(2) とする。に対して、不等式
を示せ。
(3) を求めよ。


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解答　(1) 数学的帰納法により示します。
(I) のとき、
∴
よって、与式は成り立ちます。

(II) のとき、与式が成り立つと仮定します。


∴

(I)，(II)より、に対して、
が成り立ちます。

(2) 数学的帰納法により示します。
(I) (1)より、のとき、
において、より、 ･･･①
また、とおくと、において、
よって、において、は単調増加。
∴ 　･･･②
①，②より、において、
よって、与不等式は成り立ちます。

(II) のとき、与不等式が成立したとします。
　()　･･･③
において、
　(定積分と微分を参照)
よって、において、は単調増加。
において、
　･･･④
とおくと、
において、③より、
よって、において、は単調増加。
において、
∴ 　･･･⑤
④，⑤より、において、
よって、のときも、与不等式は成り立ちます。

(I)，(II)より、として、に対して、不等式
が成り立ちます。

(3) (2)の不等式において、とすると、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、 ......[答]

注．(1)と(3)から、が言えます。また、マクローリン展開を参照してください。


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