早大理工数学'06年[3]
数列
，
，
，･･･ は条件
を満たすとする。以下の問に答えよ。
(2) 
を満たすnがあることを示せ。
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解答 (1)は、絶対値も出てくるし、偶奇も出てくるので、どんどん場合分けしていきます。(2)は、自然数が1きざみに存在していて、実数のように、異なる2実数の間に無限に実数が存在する(実数の稠密性と言います)わけではない、というところから来ます。背理法で証明してみます。
(1) (i) 
のとき、
(
) ･･･②
・
のとき、①より、 ・
のとき、②より、 いずれにしても、
･･･③
・
のとき、
②より、
・
のとき、
③より、
(ii) 
のとき、
･･･⑤
・
のとき、
④より、
・
のとき、
⑤より、
(2) 
，
が自然数で、
より、
について、
は、0，または、自然数です。 ここで、
について、すべて
と仮定すると、問題文中の定義より、
もすべて自然数 ･･･⑥ です。
また(1)より、
，即ち、
よって、
ということは、任意の自然数
，
に対して、
は
，
の小さくない方に一致しますが、
となるようなnを選ぶと、
となり、⑥と矛盾します。
よって、
とした仮定は誤りで、
を満たすnが存在します。
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，
，
，･･･ を次の式で定める。
，
，
がすべて正ならば
が成り立つことを示せ。
より、
･･･①
より、
より、
･･･④
より、
，
，
がすべて正ならば
が成り立ちます。