早大理工数学'08年[2]
自然数m，nに対してを
　　　
で定める。以下の問に答えよ。
(1) をみたすm，nを1組求めよ。
(2) a，b，c，dは整数で、等式をみたすとする。不等式，が成り立つならば、，となることを示せ。
(3) 任意の自然数kに対し、をみたすm，nがただ1組だけ存在することを示せ。


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解答 私は意地の悪い人間なので、私なら、(1)は、にしますが、難問というわけでもなく、それでいて、実験をさせながらメカニズムを発見させ、論理的構想力も見ようという問題で、私は、良問だと思います。なお、整数を参照してください。

(1)
ここで、平方数：が200から大きく異なると、が大きく、つまり、m，nの差が大きくなり、m，nのどちらかが大きな自然数になってしまい、平方数：がさらに大きな値になってしまって、等式を満たしにくくなる、ということに、まず、気づかないといけません。
このことに気づけず、機械的に小さい方、m＝n＝1から代入していくのであれば、時間的に大きくロスをすることになります。
従って、が200に近いものから、候補を順次代入していくべきです。m＝n＝1からではない、というところがこの問題のよく工夫されている点です。200に一番近い平方数は、です。そこで、
，
つまり、
，
とすると、
となり、条件を満たすので、， ......[答]

(2) 　･･･①
より、
問題文に与えられている条件：
　･･･②
　･･･③
②－③より、　(不等式の証明を参照)
∴
②より、，つまり、です。また、③より、です。従って、 ()で各辺を割ると、
は整数なので、
①より、

(3) まず、任意の自然数kに対し、，つまり、
として、
，
となる整数が見つかったとします。
この2式を連立してm，nについて解くと、
，
，は連続2整数の積なので偶数であって、，は整数です。従って、m，nは整数です。ここで、，であるためには、
，
でなければなりません。2番目の方の不等式は、k，が整数であることから、
と同値で、結局、
　･･･④
が満たされればよいことになります。従って、m，nが少なくとも1組存在することを言うためには、④を満たすが存在することを言えばよいことになります。
④の左の不等号から、
∴ 　･･･⑤
④の右の不等号から、
∴ ，　･･･⑥
⑤ かつ ⑥より、を自然数とすれば、
　･･･⑦
この区間の幅は1なので⑦をみたす自然数は必ず存在します。
結局、証明のストーリーは以下のようになります。

任意の自然数kに対して、より、
　･･･⑦
を満たす自然数が必ず存在します。
⑦の左の不等号より、
両辺を2乗して、
∴
⑦の右の不等号より、
2乗して整理すると、
従って、任意の自然数kに対して、
を満たす自然数が必ず存在します。このとき、
，
とおけば、
，
を満たします。

次に、任意の自然数kに対し、2組の自然数m，nと，を持ってきたときに、
つまり、
とします。
，，，とおくと、①を満たします。
m，nは自然数なので、


∴
全く同様にして、
よって、②，③も満たされるので、(2)より、，
つまり、


∴ ，
よって、任意の自然数kに対し、をみたすm，nがただ1組だけ存在します。


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