早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2008年数学入試問題
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[1] aを正の定数とする。xy-座標平面において、曲線
と、直線
とで囲まれた部分をDとおく。以下の問に答えよ。
(1) Dの概形を描き、その面積を求めよ。
(2) 直線
を軸として、Dを1回転してできる図形の体積を求めよ。 [解答へ]
[2] 自然数m，nに対して
を
で定める。以下の問に答えよ。
(1) 
をみたすm，nを1組求めよ。 (2) a，b，c，dは整数で、等式
をみたすとする。不等式
，
が成り立つならば、
，
となることを示せ。 (3) 任意の自然数kに対し、
をみたすm，nがただ1組だけ存在することを示せ。 [解答へ]
[3] 
はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式
をみたしているとする。以下の問に答えよ。
(1) 
を示せ。 (2) 
に対して が成り立つことを示せ。
(3) 微分の定義を用いて
を示せ。 (4) 
が成り立つことを示せ。 [解答へ]
[4] n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率
でどれか1つの箱に入れるものとする。
のとき2箱のみが空となる確率を
とする。以下の問に答えよ。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の
箱のそれぞれに1個の球が入る確率
を求めよ。 (3) 
に対し
を求めよ。 (4) (2)で求めた
について、
を求めよ。 [解答へ]
[5] xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点N
をとる。また
をみたすθ に対し、次の2つの条件
(a) 
(b) 
をみたすS上の動点P，Qについて、線分PQが通過してできる立体図形Tを考える。以下の問に答えよ。
(1) 点Pと点Qのz座標は等しいことを示せ。
(2) 点Pが平面
上にあるとき、線分PQの長さをθ とhで表せ。 (3) Tを平面
で切ったときの断面の概形を描き、その面積をθ とhで表せ。 (4) hのとりうる値の範囲に注意して、Tの体積Vをθ で表し、θ を動かしたときのVの最大値を求めよ。
[解答へ]
各問検討
[1](解答はこちら) 曲線
は軸が
傾いた放物線です。
回転して考えれば簡単になることはわかるのですが、回転変換もなかなか面倒です。私は、この問題を回転の行列を使って解くくらいなら、現行課程では高校の範囲外ですが、複素数による回転を覚えた方が良い(物理でも交流のインピーダンス計算で使えるので)ように思います(別解につけました)。
回転しないで解くのであれば、(1)は普通に面積計算を行えますが、(2)の体積は少々工夫が必要です。解答では、通常のx軸のまわりの回転体の体積計算と同様に、円の面積を回転軸u軸に沿って積分するという方法でやりました(他の解法もあります)。この解法が、斜回転体の体積を求める方法としては最も取っつき易い方法だと思います。実際に入試会場で使えるようにするのには、かなり練習が必要なので、受験生必須の技巧とは言えないかも知れません。
断面円の面積をu軸に沿って積分するところをx軸に沿って積分しないように注意してください。解答ではu軸に沿う積分を置換積分を行うことによって、x座標tに関する積分に直していますが、
となっていて、
がつきます。uとtとでは変化の仕方が違います。
斜回転体の問題を1題紹介しておきます。早大理工'08年[1]と同様にやればできます。
東京理科大理工'91[3]：
曲線C：
(
)と直線l：
とで囲まれた図形を直線lのまわりに1回転してできる立体の体積を
とする。ただし、
とする。 (1) 
を求めよ。 (2) C上の点P
からlに下ろした垂線の足をHとするとき、線分PHおよび線分OHの長さをx，mで表せ。またxが増加するとき、線分OHの長さは単調に増加することを示せ。 (3) 比
：
の値を求めよ。 (4) 
のとき、
はmによらず一定であることを証明せよ。 [答](1) 
(2) 
，
(単調増加はxで微分してみればよい) (3) 
：
＝1：
(4) 
(＝一定)
[2](解答はこちら) (1)が
だとすると、
これを、
から順番に当てはめていくのでは、なかなか見つかりません。
2乗して1000に近い整数、31とか32あたりから調べます。
とすると、
連立して解くと、
，
となって不適です。
とすると、
連立して解くと、
，
となります。
こういうところは、できる限り短時間で処理しようという問題意識をもって取り組むような心がけが必要だということが言えると思います。
(2)で解答は何ごともなく簡単にすませて見えるように思うかも知れませんが、最初から正直に
，
を目標にするとなかなかうまく行きません。問題文の不等式
，
を有効活用することを考えれば、
より
への式変形が思い浮かぶと思います。
が出てくれば、整数
で可能な値は0だけということが見えてくるでしょう。
(3)がなかなか手こずります。試験場では、「存在」の方を後回しにして、(2)を利用するだけですむ「ただ1組だけ」という方を片付けておくのが良いと思います。
[3](解答はこちら) 微分方程式が高校の教科書に載っていた頃の昔話ですが、関数方程式という分野の問題が入試によく出ていました。例えば、
富山大'72：
関数
が任意の実数x，yに対して
を満たしている。
(ただし
)のとき、次の(1)，(2)に答えよ。 (1) 
を求めよ。 (2) 
を求めよ。 この問題は以下のように解答します。
(2) 
より、
よって、
，
，∴ 
(C：積分定数)
，
より、
......[答]
同じように、
，
を満たす任意の実数x，yに対して
，
であれば、
を代入して、
∴ 
を代入すると、
∴ 
(C：積分定数)，
より、
......[答]
上記2題において、与えられた関係式は関数の性質を与えています。
は、指数関数の性質：
は、対数関数の性質：
を表しています。関数方程式の問題は、関数の性質から関数の形が決まってしまう、という、興味深い内容の問題で、私は、ぜひ、入試で大きく取り上げて欲しいと思っています。
そもそも、私たちの時代に高校数学の中で最も楽しかったテーマ「微分方程式」を、何を血迷ったか、高校数学の範囲外にしてしまった文科省官僚の不見識を嘆かざるを得ません。甲子園球児が、「野球を楽しもう」と言いながら熱戦を闘っている時代に、高校数学も「楽しく」勉強するようにできないものでしょうか。
の微積分とか、対数の底aが
のときには、真数の大小と対数の大小が入れ替わる、なんていう何の役に立つのかもわからないようなことで受験生いじめをやることこそ高校数学の範囲外にするべきではないでしょうか。
私は、関数方程式が現行課程で範囲外だとは思いませんが、出題者の中に遠慮があるのか、ほとんど取り上げられません。[3]で取り上げた早大理工の勇気をたたえたい、などと言っては大げさでしょうか？
もっとも、微分方程式も出すぞ、と、宣言している京都大学は、昨年、'07年理系前期乙[6]で、関数を求めよという問題にはなっていませんでしたが、
という関係式から
の性質を考えさせる問題を出題していました。この早大理工'08年[3]は、
という関係式から
の形を求めさせるようになっています。最近の受験生にとっては、なじみがない、という点で難しく感じたかも知れませんが、(1)〜(3)は易問です。(4)は少し考え込むかも知れません。(2)の結果を繰り返して使えば、
より、(3)の
の利用が見えてきます。ですが、正答率はあまり高くはなかったのではないでしょうか。
[4](解答はこちら) 早大理工の確率の問題は難問であることが多いように思います。この問題も難問の部類です。解答では、問題文を読んで自然な流れに沿って考えるという方針でやってありますが、じっくり考え込んでから取り組めば、もう少し合理的な解法があると思います。
3球入れる箱が1箱、1球入れる箱が
箱、というところを、解答では、球を入れる
箱を1列に並べて順列として考えてから、3球の選び方を考える、というようにしました。従って、箱については順列、球については組み合わせでやってあります。
ですが、この考え方では、2球入れる箱が2箱ある場合、(4)の注．に書いたとおり、実は1つの場合なのに、それを2通りとカウントしてしまう場合ができてしまいます。試験会場では、この重複に気づくのがなかなか難しかったりします。
受験生が、この問題の自分の解答が問題集に出ている解答と合わないのだけれど、どこが違っているのでしょうか、という質問を持ってくるとき、重複に気づいていないこのケースが大半です(5個のりんごは区別できないが、5人の子どもは区別できる、という違いに気づかない、というのも多い)。
2で割るのを忘れれば、自動的に誤答になってしまうので、答案を書き出す前に、問題冊子の脇か計算用紙に、具体的に箱にどのように球が入るのか、いろいろな場合を書き出して確認するような作業をやっておくようにする必要があります。
こうした作業は、本番の試験でいきなりできるというものではないので、センター試験の練習をする、というときから、具体的にすべの場合を紙に書き出す、というクセをつけておくようにして欲しいものです。確率の問題では、解答が正しいかどうか、確認のしようがない問題も多々あるので、具体的に書き出して確認作業を行うことを心がけてください。
この[4]よりも重複の確認が難しい過去問を1つ紹介しておきます。
早大理工'88[3]：
1番から12番までの12枚の番号札を、無作為に4枚ずつ3組に分ける。その上で、次の順で合計7枚の札を選び出す。
(a) 各組の一番小さい番号の札を取り出す。
(b) 残っている札の中から、各組の一番小さい番号の札を取り出す。
(c) 残り6枚の中で、一番小さい番号の札を取り出す。
次の問いに答えよ。
(i) 何番までの札は確実に選び出されるか。
(ii) 6番の札が、(a)で取り出される確率を求めよ。
(iii) 6番の札が、選び出される確率を求めよ。
[答](i) 3番 (ii) 
(iii) 
[5](解答はこちら) いきなり「Tの体積の最大値を求めよ」と言われたら難問だと思いますが、ていねいな誘導がついていて、計算もほどほどで、正解にたどり着いた受験生も多いのではないかと思います。
線分PQの通過領域は、線分PQ上の点と回転軸との距離の最大値、最小値を半径とする2円の間の部分になります。知識として知っていなくても、試験会場で紙の上に置いたまま鉛筆を1回転させてみれば、わかるだろうと思います。
体積計算の定積分の積分範囲が問題ですが、問題文に「hのとりうる値の範囲に注意して」という親切な注意書きがあるので、気づけるでしょう。
というわけで、ここまで出題者が手取り足取りで誘導してくれているので、この問題は得点源としたいところです。
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