早大理工数学'08年[1]
aを正の定数とする。xy-座標平面において、曲線
と、直線
とで囲まれた部分をDとおく。以下の問に答えよ。
(1) Dの概形を描き、その面積を求めよ。
(2) 直線
を軸として、Dを1回転してできる図形の体積を求めよ。
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解答 気力が必要な微積分の計算問題ですが、(1)は、Dの概形を捉えるのに凹凸まで考える必要があるので、陰関数で扱うよりも陽関数にしてしまう方がやり易いと思います(陰関数の微分法を参照)。(2)は、定型問題ですが、正答するのはなかなか容易ではありません。ここでは、2通りの扱いでやってみたいと思います。但し、必ずしも、座標回転でラクになるとも言えません(極形式を参照)。
(1) 曲線：
･･･①は、
，
より、
を定義域とします。また、①は、
直線：
･･･②
とは、
，
を共有します。①より、 よって、①のyは単調減少です(関数の増減を参照)。 
(
)よって、①のグラフは下に凸です(ということは、
において、①の方が②の下に来る。関数の凹凸を参照)。Dの概形は、右図で黄緑色で着色された部分。
②は、
と変形できるので、Dの面積Sは、 
......[答]
(2) 右上図において、曲線①上の点Q
から直線②に下ろした垂線の足をR，点P
から直線②に沿い右下に向かってu軸をとり、
とします。 このとき、点Rの存在範囲：
を考えて、Dを直線②を軸として回転させてできる図形の体積Vは、 と表されます。点Q
と直線：
との距離を考えることにより、 
･･･⑥②と⑥を連立することにより、交点Rのx座標は、
∴ 
∴ 
u：
のとき、t：
よって、④は、⑦の置換により(置換積分を参照)、⑤を用いて、 (uの積分のままでもできますが、上端が
となって
がつく分だけ若干面倒です)
別解 面積と回転体の体積を座標回転でやってみます(極形式を参照)。
複素数
を時計回り(負方向)に
回転して、
になるとすると、
∴ 
，
･･･⑧ ③に代入すると、
2乗すると、
∴ 
回転すると、放物線：
･･･⑨
⑧を②に代入すると、
∴ 
回転すると、直線：
となります。
⑨と連立すると、
∴ 
(2)の体積Vは、
......[答]
です。
曲線と直線の式を変換する必要がありますが、積分計算はラクになります。
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･･･③
(
)
はこのx座標の
倍で、
･･･⑦
......[答]
