京大理系数学'07年前期乙[6]
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数
が
，
を満たし、さらに任意の実数a，bに対して
であって、
を満たしている。
(1) 任意の実数aに対して、
であることを証明せよ。 (2) 
のグラフは
で上に凸であることを証明せよ。
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解答 すべての実数で定義され何回でも微分できる関数
というのは、
も、
も、2次以上の全ての導関数がすべての実数xにおいて連続である、ということです。この問題では、なかなか有効な条件です。
･･･①
(1) 
を満たす実数bが存在すると仮定します。①より、任意の実数aについて、 
となるaについて、
となり
に反するので仮定は誤りであって、
なる実数bは存在しません(背理法については、証明の技巧を参照)。
また、
を満たす実数bが存在すると仮定します。①より、任意の実数aについて、
となるaについて、
となり
に反するので仮定は誤りであって、
なる実数bは存在しません。
以上より、任意の実数xに対して、
かつ
かつ
であって、題意より関数
がすべての実数において連続であることから、任意の実数aに対して、
(証明終)
(2) 導関数の定義を考えてみます。任意の実数aに対して、
として、 なぜなら、
だからです。
以上より、
の導関数は、 
･･･②
がすべての実数において何回でも微分可能なことから、②両辺をxで微分すると、
･･･③(1)より、すべての実数xにおいて、
だから、②より、
であって、
は単調増加な関数です。
従って、
においては、
よって、③より、
において、
つまり、
のグラフは
で上に凸になります(関数の凹凸を参照)。(証明終)
追記 ②を使うと
を求めることができます(微分方程式を参照)。
，
より、
∴ 
∴ 
∴ 
より、
∴ 
∴ 
は、双曲線関数と呼ばれる関数の一つです。種々の関数のグラフ(4)の例7．を参照してください。
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，
(
において
は連続)
⇔ 
(∵ 
)
