早大理工数学'08年[3]
はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式
をみたしているとする。以下の問に答えよ。
(1) 
を示せ。 (2) 
に対して が成り立つことを示せ。
(3) 微分の定義を用いて
を示せ。 (4) 
が成り立つことを示せ。
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解答 関数方程式の問題かと思うとそうでもなく、(4)では、(2)をどう料理するか、ということを考えましょう。
･･･①
(1) ①において、
とすると、 ∴ 
の代わりにxを代入すると、
(3) 題意より
が存在して、(1)より
なので、微分の定義を用いて、 また、
より、 ∴ 
(4) 要は、
が定数になることが言えれば良いのですが、①と微分の定義を使って微分方程式を引っ張り出そうとしてもうまく行きません。そこで、(2)の形をにらんで、数列の極限から言えないか、と、考えることにします。 任意の実数xに対して、数列
の各項(
)を、 とします。(2)より、
(2)において、xの代わりに
(
)を代入すると、
よって、数学的帰納法により、
，つまり、
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として、①の両辺を、
(
)で割ります。
とすると、
