早大理工数学'10年[2]
xy平面上の点
に対して、点
，
，･･･ を次の式で順に定める。
以下の問いに答えよ。
(1) 
のとき、
を求めよ。 (2) 
のとき、
を求めよ。 (4) 
となる2以上の整数nが存在しないとき、点
はどのような範囲にあるかを図示せよ。
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解答 問題文に行列が出てきますが、行列や1次変換の問題というほどのことはありません。
第1象限、第4象限、･･･、x軸上
の部分、y軸上
の部分、･･･、という具合に分けて考えるように促す誘導に即して考えます。面倒ですが、すべての場合を調べても試験時間内にやりきれるでしょう。
これは、
と
を入れ替えて
にマイナスをつける(図形的には、反時計回りに
回転することを意味する)、ということです。 ・
のとき、
これは、
と
の双方にマイナスをつける(図形的には、反時計回りにπ回転することを意味する)、ということです。 以上の規則で
から
を求めることを、
→
のように表すことにします。
......[答]このまま続けていくと、
→
となり、
となっています。
......[答]
となっています。
(3) 以下では、
，
とします。
→
→
→
→
∴ 
これより、
では
，
，
が循環的に現れ、kを自然数として、
のとき
，
のとき
，
のとき
よって、
となる2以上の整数nは存在しません。
→
→
→
→
∴ 
これより、
では
，
，
が循環的に現れ、kを自然数として、
のとき
，
のとき
，
のとき
よって、
となる2以上の整数nは存在しません。・
のとき、
これより、すべての整数
について、
(3)を含めて以上より、
“
となる2以上の整数nが存在しない”⇔ “
かつ 
” 
の存在範囲を図示すると右図黄緑色着色部(太線を含み、点線と白マルを除く)。
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かつ 
のとき、
となることを示せ。
→
→
→
→
→
→
として、
→
→
→
，
のとき、
として、
→
→
→
，
のとき、
として、
→
→
→
，
のとき、
として、
，
のとき、
として、
，
のとき、
として、
→
→
→
，
のとき、
として、
→
→
→
，
のとき、
として、
→
→
→
のとき、