早大理工数学'11年[2]
xy-平面上の円C：
の内側を半径
の円DがCに接しながらすべらずに転がる。時刻tにおいてDは点
でCに接しているとする。Dの周上の点Pの軌跡について考える。ある時刻
において点Pが
にあり、Dの中心が第2象限にあるとする。以下の問いに答えよ。
(1) 時刻
におけるDの中心の座標を求めよ。 (2) 第1象限において、点PがC上にあるときのPの座標を求めよ。
(3) 点Pの軌跡をxy-平面上に図示せよ。
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解答 円の内側を転がるもう一つの円の周上の点の軌跡は、ふつう、ハイポサイクロイドになります。本問では、ちょっと図を描いてみれば、時刻
に
にあった円D上の点が、x軸上の
の部分を動くことはすぐわかります。点Pが最初にどこにいたのかがわからないのですが、最初の位置と中心を結ぶ半径がx軸となす角をαとおけば、ハイポサイクロイドの類題と同じように考えて行けます。
(1) 時刻tにおける円Dの中心の位置をQ， Qを通りx軸に平行な直線と円Dとの交点のうち、x座標の大きい方をRとして
，接点
をTとします。Q，T，Oは一直線上にあるので、時刻tにおけるQの座標は
です。また、 
･･･①時刻
において接点Tは点A
にあります。このとき、
(
)とします。D上の点で時刻
にA
に位置していた点をSとすると、時刻tにおいて、円D上の円弧TSと円C上の円弧TAの長さは等しいので、
とすると、
，
(一般角を参照)より、
，
これより、時刻tにおいて、
①に代入して、 
･･･②P
は、
，
，これより、Pは直線
上にあります。また、
のときには、点Pは原点Oに来ます。Pは時刻
に
に来るので、 ∴ 
②に代入して、
･･･③
では、
よって、
において、Dの中心Qが第2象限にあることから、
，
∴ 
∴ 
Dの中心Qの座標は、
......[答]
(2) 点Pは直線
上の点ですが、この直線と円Cとの交点は、 
，
(3) ③より、
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，
，
より、
，
......[答]
の
の部分で、図示すると右図太線。