早大理工数学'13年[4]
半径1の半円を底面とし、高さが1の半円柱に含まれる立体Rがある。その高さx (
)での断面が、次の図のように2つの直角三角形を合わせた形になっている。次の問いに答えよ。
(1) 高さxでのRの断面積
を求めよ。 (2) Rの体積を求めよ。必要ならば、積分する際に
と置き換えよ。
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解答 (1)では立体の形状を追求しないのがコツです。断面積を積分するだけで、早大理工としては、物足りない感じがします。
(1) 右図において、△ABC∽△ACFより、AB：AC＝AC：AF
，
より、
三平方の定理より、
また、EO//CFより、BO：BC＝EO：CF∴ 
......[答]
(2) Rの体積Vは、
より、 
とおくと、
，
，x：
のとき、t：
(置換積分を参照)
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