早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2013年数学入試問題
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[1] 放物線C：
(
)の焦点F
を通る2直線
，
は互いに直交し、Cと
は2点
，
で、Cと
は2点
，
で交わるとする。次の問いに答えよ。
(1) 
の方程式を
と置き、
，
の座標をそれぞれ
，
とする。
，
をaとpで表せ。 (2) 
は
，
のとり方によらず一定であることを示せ。 [解答へ]
[2] 複素数
と自然数
について、複素数
を実数
，
を用いて
と表す。次の問いに答えよ。
(1) 
(
)であることを示せ。 (2) すべてのnについて
が成り立つ定数p，qを求めよ。 (3) どんなnについても
は5の整数倍でないことを示せ。 (4) 
(
)は実数でないことを示せ。 [解答へ]
[3] 
とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数t に対して
とおく。xが実数全体を動くとき、
が最大値をもつようなt の範囲を求めよ。またt がその範囲にあるとき、
の最大値とそのときのxの値を求めよ。 (2) (1)で求めた最大値を
とする。aを定数とし、t の関数
を考える。t が(1)で求めた範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。 [解答へ]
[4] 半径1の半円を底面とし、高さが1の半円柱に含まれる立体Rがある。その高さx (
)での断面が、次の図のように2つの直角三角形を合わせた形になっている。次の問いに答えよ。
(1) 高さxでのRの断面積
を求めよ。 (2) Rの体積を求めよ。必要ならば、積分する際に
と置き換えよ。 [解答へ]
[5] 空間内に平面Pがある。空間内の図形Aに対し、Aの各点からPに下ろした垂線とPとの交点の全体を、AのPへの正射影と呼ぶ。次の問いに答えよ。
(1) 平面Qが平面Pと角θ (
)で交わっているとする。すなわち、PとQの交線に垂直な平面でP，Qを切ってできる2直線のなす角がθ であるとする。Q上の長さ1の線分のPへの正射影の長さの最大値と最小値を求めよ。 (2) (1)のQを考える。Q上の1辺の長さが1である正三角形のPへの正射影の面積を求めよ。
(3) 1辺の長さが1である正四面体TのPへの正射影
はどんな形か。また、
の面積の最大値を求めよ。 [解答へ]
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